Dados o ponto
A(1,1,1)
e o plano
alpha: 5 x-7 y+2 z=0.

Observações:

  • Redija a sua prova de modo organizado e com rigor matemático.
  • Todas as questões devem ser resolvidas utilizando os conceitos apresentados nas aulas.
  • Não é permitido o uso de qualquer tipo de calculadora.
    Determinar o ângulo formado entre o plano alpha e o eixo Oz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto A(1,1,1) e o plano α: 5x - 7y + 2z = 0. O que a gente precisa encontrar é o ângulo formado entre o plano α e o eixo Oz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre planos e eixos. Vamos precisar entender como calcular o ângulo entre um plano e uma linha (no caso, o eixo Oz).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano α. A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, os coeficientes A, B e C representam as componentes do vetor normal n ao plano. No nosso caso, a equação do plano é 5x - 7y + 2z = 0, então o vetor normal é:
n = (5, -7, 2)

Passo 3

Agora, o eixo Oz é uma linha que tem direção ao longo do eixo z. O vetor diretor do eixo Oz é:
v = (0, 0, 1)

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre o plano α e o eixo Oz, precisamos encontrar o ângulo entre o vetor normal do plano e o vetor diretor do eixo Oz. Vamos chamar esse ângulo de θ.
A fórmula para o ângulo entre dois vetores n e v é:
cosθ = n cdot v||n|| , ||v||
Onde “⋅” representa o produto escalar e ||n|| é o comprimento (módulo) do vetor n.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n ⋅ v:
n cdot v = (5)(0) + (-7)(0) + (2)(1) = 0 + 0 + 2 = 2

Passo 6

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores n e v:
||n|| = raiz5^2 + (-7)^2 + 2^2 = raiz25 + 49 + 4 = raiz78
||v|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cosθ = 2raiz78 times 1 = 2raiz78 approx 28.8318 approx 0.2268

Passo 8

Para encontrar o ângulo θ, usamos a função arco cosseno:
θ = arccos(0.2268) approx 76.0°

Passo 9

Esse ângulo θ é o ângulo entre o vetor normal do plano e o eixo Oz. Mas queremos o ângulo entre o plano e o eixo Oz, que é o complemento desse ângulo.
Então:
Ângulo entre o plano α e o eixo Oz = 90° - θ approx 90° - 76.0° = 14.0° Âα

Resposta

O ângulo formado entre o plano α e o eixo Oz é aproximadamente 14,0 graus.

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