Dados o ponto
e o plano
.
Observações:
- Redija a sua prova de modo organizado e com rigor matemático.
- Todas as questões devem ser resolvidas utilizando os conceitos apresentados nas aulas.
- Não é permitido o uso de qualquer tipo de calculadora.
Determinar o ângulo formado entre o plano
e o eixo Oz .
e o plano
Determinar o ângulo formado entre o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto A(1,1,1) e o plano α: 5x - 7y + 2z = 0. O que a gente precisa encontrar é o ângulo formado entre o plano α e o eixo Oz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre planos e eixos. Vamos precisar entender como calcular o ângulo entre um plano e uma linha (no caso, o eixo Oz).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano α. A equação geral de um plano é dada por:
Aqui, os coeficientes A, B e C representam as componentes do vetor normal n ao plano. No nosso caso, a equação do plano é 5x - 7y + 2z = 0, então o vetor normal é:
Passo 3
Agora, o eixo Oz é uma linha que tem direção ao longo do eixo z. O vetor diretor do eixo Oz é:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre o plano α e o eixo Oz, precisamos encontrar o ângulo entre o vetor normal do plano e o vetor diretor do eixo Oz. Vamos chamar esse ângulo de θ.
A fórmula para o ângulo entre dois vetores n e v é:
Onde “⋅” representa o produto escalar e ||n|| é o comprimento (módulo) do vetor n.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar n ⋅ v:
Passo 6
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores n e v:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Passo 8
Para encontrar o ângulo θ, usamos a função arco cosseno:
Passo 9
Esse ângulo θ é o ângulo entre o vetor normal do plano e o eixo Oz. Mas queremos o ângulo entre o plano e o eixo Oz, que é o complemento desse ângulo.
Então:
Resposta
O ângulo formado entre o plano α e o eixo Oz é aproximadamente 14,0 graus.