Use a definição de continuidade no ponto para provar que:
(2) f(x)=x^2 é contínua em x=3;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=x^2 é contínua em x=3 usando a definição de continuidade num ponto. Lembra que, por definição, f é contínua em a se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(a)|<varepsilon

Passo 2

Aplicando a definição a a=3, queremos: dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que
|x-3|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(3)|<varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença em módulo:
|f(x)-f(3)| = |x^2 - 3^2| = |x^2 - 9|
Fatorando, fica
|x^2 - 9| = |x-3|;|x+3|

Passo 4

Para controlar |x+3|, escolhemos garantir que x fique perto de 3. Se exigirmos
|x-3|<1,
então x pertence a (2,4) e assim
|x+3| <= 4 + 3 = 7
Logo, sempre que |x-3|<1, vale
|f(x)-f(3)| = |x-3|;|x+3| < 7,|x-3|

Passo 5

Para obter |f(x)-f(3)|<varepsilon, basta fazer
7,|x-3| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x-3| < varepsilon7
Por isso, definimos
de<a = minl(1,;tfracvarepsilon7r)
Assim, sempre que |x-3|<de<a, temos simultaneamente |x-3|<1 (para controlar |x+3|) e |x-3|<varepsilon/7, o que garante
|f(x)-f(3)| < 7,|x-3| < 7cdotvarepsilon7 = varepsilon

Resposta

Concluímos que, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a=min(1,varepsilon/7)>0 tal que |x-3|<de<a implica |f(x)-f(3)|<varepsilon. Portanto, f(x)=x^2 é contínua em x=3.

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