Dados o ponto P(1,-4,5), a reta s:(x, y, z)=(2,1,-1)+t(1,0,1) ; t in R e o plano alpha: x-2 y+z-5=0, determine, justificando:
d(P, s);

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P a uma reta s no espaço. Estamos em Geometria Analítica 3D e vamos usar a fórmula que expressa essa distância em termos de produto vetorial:
d(P,s)=|APtimesv||v|,
onde A é um ponto qualquer da reta, v é o vetor diretor de s e AP é o vetor de A até P.

Passo 2

Escolhemos como ponto da reta A=(2,1,-1) (já vem do enunciado) e extraímos o vetor diretor
v=(1,0,1)
Em seguida calculamos
AP=P-A=(1-2,,-4-1,;5-(-1))=(-1,-5,6)

Passo 3

Agora montamos o produto vetorial
APtimesv = i & j & k -1 & -5 & 6 1 & 0 & 1 =(-5;i-(-7);j+5;k) =(-5,7,5)

Passo 4

Calculamos as normas:
|APtimesv| =raiz(-5)^2+7^2+5^2 =raiz25+49+25 =raiz99 =3raiz11,
|v| =raiz1^2+0^2+1^2 =raiz2
Logo a distância é
d(P,s) =3raiz11raiz2 =3raiz222

Resposta

d(P,s)=3raiz222

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