Dados o ponto P(1,-4,5), a reta s:(x, y, z)=(2,1,-1)+t(1,0,1) ; t in R e o plano alpha: x-2 y+z-5=0, determine, justificando:
d(P, alpha);

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P(1,-4,5) e o plano alpha: x - 2y + z - 5 = 0. O conteúdo aqui é distância de um ponto a um plano, para o qual usamos a fórmula
d(P,alpha) ;=; l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2,
onde a,b,c são as componentes do vetor normal ao plano e d o termo constante da equação geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Na equação x - 2y + z - 5 = 0 identificamos
a = 1, b = -2, c = 1, d = -5
Substituindo as coordenadas de P no numerador, temos
l|a x0 + b y0 + c z0 + dr| = l|1cdot1 + (-2)cdot(-4) + 1cdot5 + (-5)r| = l|1 + 8 + 5 - 5r| = lvert 9rvert = 9

Passo 3

O denominador é o comprimento do vetor normal:
raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Portanto,
d(P,alpha) = 9raiz6 = 9raiz66 = 3raiz62

Resposta

d(P,alpha) = 3raiz62

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