Dados o ponto , a reta e o plano , determine, justificando:
uma equação da reta que satisfaz às três condições:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado dá o ponto , a reta
e o plano
Queremos uma reta que satisfaça:
(i) ,
(ii) intersecta (isto é, ),
(iii) .
O conteúdo é geometria vetorial em : distância ponto-plano, condição de paralelismo reta-plano e interseção de retas.
Passo 2
Primeiro calculamos a distância de ao plano . A fórmula é
Passo 3
Como queremos d(m,alpha)=d(P,alpha)>0, a reta m não pode intersectar alpha; logo m é paralela a alpha. Se o vetor diretor de m é v=(a,b,c) e o normal de alpha é n=(1,-2,1), paralelismo exige
ncdotv = a -2b + c = 0
Passo 4
Como
Para garantir interseção com , existe e tais que
Isto dá o sistema
Da segunda equação . Substituindo nas outras duas e usando conduz ao sistema
cuja solução (até escala) é
Passo 5
Escolhendo v=(17,10,3), a reta m é
m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+mu,(17,10,3), muinR
Verifica-se que m passa por P, intersecta s em l(tfrac192,1,tfrac132r), é paralela a alpha e portanto