Dados o ponto P(1,-4,5), a reta s:(x, y, z)=(2,1,-1)+t(1,0,1) ; t in R e o plano alpha: x-2 y+z-5=0, determine, justificando:
uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P, m)=0
(ii) d(m, s)=0
(iii) d(m, alpha)=d(P, alpha)

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(1,-4,5), a reta
s: (x,y,z) = (2,1,-1) + t,(1,0,1), tinR,
e o plano
alpha: x - 2y + z - 5 = 0
Queremos uma reta m que satisfaça:
(i) Pin m,
(ii) m intersecta s (isto é, d(m,s)=0),
(iii) d(m,alpha)=d(P,alpha).
O conteúdo é geometria vetorial em R^3: distância ponto-plano, condição de paralelismo reta-plano e interseção de retas.

Passo 2

Primeiro calculamos a distância de P ao plano alpha. A fórmula é
d(P,alpha)=l|,1 -2(-4)+5 -5r|raiz1^2+(-2)^2+1^2 =|1+8+5-5|raiz6 =9raiz6 =3raiz62

Passo 3

Como queremos d(m,alpha)=d(P,alpha)>0, a reta m não pode intersectar alpha; logo m é paralela a alpha. Se o vetor diretor de m é v=(a,b,c) e o normal de alpha é n=(1,-2,1), paralelismo exige
ncdotv = a -2b + c = 0

Passo 4

Como
Para garantir interseção com , existe e tais que
Isto dá o sistema
Da segunda equação . Substituindo nas outras duas e usando conduz ao sistema
cuja solução (até escala) é

Passo 5

Escolhendo v=(17,10,3), a reta m é
m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+mu,(17,10,3), muinR
Verifica-se que m passa por P, intersecta s em l(tfrac192,1,tfrac132r), é paralela a alpha e portanto
d(m,alpha)=dl(P,alphar)=3raiz62

Resposta

boxedm:;(x,y,z)=(1,-4,5)+t,(17,10,3),;tinR

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