Dados o ponto A=(1,2,3), a reta r: X=(2,1,-1)+t(1,0,2), t in R e os planos
alpha: 2 x+y-z+1=0 e lx=1+t y=2+t-h, t, h in R, z=-1+t+h,
Calcular o angulo entre r e alpha.

Passo 1

No enunciado, queremos calcular o ângulo entre a reta r e o plano α. Esse é um problema de geometria analítica que usa o conceito de ângulo entre reta e plano: se v é o vetor direção da reta e n é o vetor normal do plano, o ângulo φ entre reta e plano satisfaz
sin(phi)=|ncdot v||n|,|v|

Passo 2

Extraímos o vetor direção da reta r e o vetor normal do plano α. A reta é dada por X=(2,1,-1)+t(1,0,2), então v=(1,0,2). O plano α tem equação 2x+y-z+1=0, logo o normal é n=(2,1,-1).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e normas:
ncdot v=2cdot1+1cdot0+(-1)cdot2=2-2=0,
logo
sin(phi)=|0|raiz2^2+1^2+(-1)^2;raiz1^2+0^2+2^2=0
Daí concluímos que phi=0.

Resposta

O ângulo entre a reta r e o plano α é 0°, ou seja, a reta é paralela ao plano.

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