Dados o ponto , a reta e os planos e
Calcular a distancia entre r e beta.
Passo 1
O exercício pede a distância entre a reta r e o plano beta. Para resolver, vamos reconhecer que se uma reta é paralela a um plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta ao plano; caso contrário, a distância seria zero.
Passo 2
Vamos obter um vetor normal de beta. A parametrização de beta é
x=1+t, y=2+t-h, z=-1+t+h,
com vetores diretores v1=(1,1,1) (para t) e v2=(0,-1,1) (para h). O vetor normal é n=v1timesv2.
Passo 3
Computando o produto vetorial:
n=(1,1,1)times(0,-1,1)=(2,-1,-1)
Assim, a equação cartesiana de beta é
2x - y - z - 1 = 0,
pois passa por (1,2,-1).
Passo 4
O vetor diretor da reta r é u=(1,0,2). Vamos verificar se r e beta são paralelos calculando
ucdotn=(1,0,2)cdot(2,-1,-1)=2-2=0
Como o produto é zero, r é paralelo a beta.
Passo 5
Para entidades paralelas, a distância é dada por qualquer ponto da reta até o plano. Tomando o ponto P=(2,1,-1) em r, usamos: