Dados o ponto A=(1,2,3), a reta r: X=(2,1,-1)+t(1,0,2), t in R e os planos
alpha: 2 x+y-z+1=0 e lx=1+t y=2+t-h, t, h in R, z=-1+t+h,
Calcular a distancia entre r e beta.

Passo 1

O exercício pede a distância entre a reta r e o plano beta. Para resolver, vamos reconhecer que se uma reta é paralela a um plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta ao plano; caso contrário, a distância seria zero.

Passo 2

Vamos obter um vetor normal de beta. A parametrização de beta é
x=1+t, y=2+t-h, z=-1+t+h,
com vetores diretores v1=(1,1,1) (para t) e v2=(0,-1,1) (para h). O vetor normal é n=v1timesv2.

Passo 3

Computando o produto vetorial:
n=(1,1,1)times(0,-1,1)=(2,-1,-1)
Assim, a equação cartesiana de beta é
2x - y - z - 1 = 0,
pois passa por (1,2,-1).

Passo 4

O vetor diretor da reta r é u=(1,0,2). Vamos verificar se r e beta são paralelos calculando
ucdotn=(1,0,2)cdot(2,-1,-1)=2-2=0
Como o produto é zero, r é paralelo a beta.

Passo 5

Para entidades paralelas, a distância é dada por qualquer ponto da reta até o plano. Tomando o ponto P=(2,1,-1) em r, usamos:
d=|2cdot2 -1cdot1 -1cdot(-1) -1|raiz2^2+(-1)^2+(-1)^2=|4-1+1-1|raiz6=3raiz6=raiz62

Resposta

raiz62

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