Dados o ponto A=(1,2,3), a reta r: X=(2,1,-1)+t(1,0,2), t in R e os planos
alpha: 2 x+y-z+1=0 e lx=1+t y=2+t-h, t, h in R, z=-1+t+h,
Calcular a distancia entre A e r.

Passo 1

Temos o ponto A=(1,2,3) e a reta r:;X=(2,1,-1)+t(1,0,2),;tinR. O conteúdo é distância entre ponto e reta no espaço, que usa a fórmula d=|AP0timesvec v||vec v|, onde P0 é um ponto na reta e vec v é o vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos o ponto da reta P0=(2,1,-1) e o vetor diretor vec v=(1,0,2). Então o vetor que vai de P0 até A é
AP0=A-P0=(1-2,;2-1,;3-(-1))=(-1,1,4)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial e as normas. Primeiro:
AP0timesvec v= i&j&k -1&1&4 1&0&2 =2,i+6,j-1,k
Daí
|AP0timesvec v|=raiz2^2+6^2+(-1)^2=raiz41,
|vec v|=raiz1^2+0^2+2^2=raiz5

Passo 4

Aplicando a fórmula
d=|AP0timesvec v||vec v|= racraiz41raiz5= racraiz2055

Resposta

d(A,r)=raiz2055

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