Dados o ponto A=(2,3) e o vetor \vec{v}=(1,-2).
(a) Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção \vec{v}.
(b) Encontre os dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4, respectivamente.
(c) Determine o ponto D pertencente a r cuja coordenada y é 4 .
(d) Verifique se os pontos E=(4,-1) e F=(5,-4) pertencem a r.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(2,3) e o vetor diretor \vec{v}=(1,-2). Precisamos usar equações paramétricas de reta para: (a) escrevê-las; (b) calcular pontos em parâmetros dados; (c) achar o ponto com uma coordenada y fixa; (d) verificar pertencimento de pontos. O conteúdo é geometria analítica de retas no plano.

Passo 2

As equações paramétricas de uma reta que passa por A e tem direção \vec{v} são dadas por \vec{r}(t)=A+t\vec{v}. Logo:
x=2+t, \quad y=3-2t.

Passo 3

Para t=1, substituindo em x=2+t e y=3-2t:
x=2+1=3, y=3-2\cdot1=1. Então B=(3,1).
Para t=4, x=2+4=6, y=3-2\cdot4=3-8=-5. Então C=(6,-5).

Passo 4

Para encontrar D com y=4, resolvemos
3-2t=4.
Temos
-2t=1 \quad\implies\quad t=-\frac{1}{2}.
Substituindo em x=2+t:
x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Logo D=\bigl(\tfrac{3}{2},4\bigr).

Passo 5

Verificamos E=(4,-1): se existir t tal que 2+t=4 então t=2. Substituindo em y=3-2t 3-2\cdot2=-1, que coincide. Logo E pertence a r.
Para F=(5,-4) temos 2+t=5\implies t=3. Então y=3-2\cdot3=3-6=-3\neq-4. Logo F não pertence a r.

Resposta

(a) x=2+t,\;y=3-2t.\n(b) B=(3,1) e C=(6,-5).\n(c) D=\bigl(\tfrac{3}{2},4\bigr).\n(d) E pertence a r e F não pertence a r.

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