Determine o ponto de interseção da reta r_{1} paralela ao vetor \vec{v}=(1,2) que passa pelo ponto A=(3,4) com a reta r_{2} que passa pelos pontos B=(2,3) e C=(-2,4).

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre duas retas no plano. A reta r_{1} é paralela ao vetor \vec{v}=(1,2) e passa por A=(3,4). A reta r_{2} passa pelos pontos B=(2,3) e C=(-2,4). Para achar a interseção, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta e igualar as coordenadas.

Passo 2

Para r_{1}\), que passa por \(A=(3,4)\) e tem direção \(\vec{v}=(1,2)\), a forma paramétrica é \[r_{1}:\quad \begin{cases} x = 3 + t,\\\ y = 4 + 2t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}].

Passo 3

Para r_{2}\), que passa por \(B=(2,3)\) e \(C=(-2,4)\), o vetor diretor é \[\vec{u} = C - B = (-2-2,\;4-3)=(-4,1).
Logo a equação paramétrica é
r_{2}:\quad \begin{cases} x = 2 - 4s,\\\ y = 3 + s, \end{cases}
onde (s\in\mathbb{R}].

Passo 4

No ponto de interseção os dois pares \bigl(x,y\bigr) coincidem. Portanto devemos resolver
3 + t = 2 - 4s, \qquad 4 + 2t = 3 + s.
Isso gera o sistema
\begin{cases} t + 4s = -1,\\\\ 2t - s = -1. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
t = -1 - 4s.
Substituindo na segunda:
2(-1 - 4s) - s = -1 \;\Longrightarrow\; -2 -8s - s = -1 \;\Longrightarrow\; -9s = 1 \;\Longrightarrow\; s = -\tfrac{1}{9}.
Então
t = -1 - 4\bigl(-\tfrac{1}{9}\bigr) = -1 + \tfrac{4}{9} = -\tfrac{5}{9}.

Passo 6

Agora basta colocar t=-\tfrac{5}{9} em r_{1}:
x = 3 + \Bigl(-\tfrac{5}{9}\Bigr) = \tfrac{27}{9} - \tfrac{5}{9} = \tfrac{22}{9},
y = 4 + 2\Bigl(-\tfrac{5}{9}\Bigr) = \tfrac{36}{9} - \tfrac{10}{9} = \tfrac{26}{9}.
Portanto o ponto de interseção é \bigl(\tfrac{22}{9},\tfrac{26}{9}\bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(\tfrac{22}{9},\,\tfrac{26}{9}\bigr)

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