Determine o ponto de interseção da reta r_{1} paralela ao vetor \vec{v}=(1,2) que passa pelo ponto A=(3,4) com a reta r_{2} que passa pelos pontos B=(2,3) e C=(-2,4).
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção entre duas retas no plano. A reta r_{1} é paralela ao vetor \vec{v}=(1,2) e passa por A=(3,4). A reta r_{2} passa pelos pontos B=(2,3) e C=(-2,4). Para achar a interseção, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta e igualar as coordenadas.
Passo 2
Para r_{1}\), que passa por \(A=(3,4)\) e tem direção \(\vec{v}=(1,2)\), a forma paramétrica é
\[r_{1}:\quad \begin{cases} x = 3 + t,\\\ y = 4 + 2t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}].
Passo 3
Para r_{2}\), que passa por \(B=(2,3)\) e \(C=(-2,4)\), o vetor diretor é
\[\vec{u} = C - B = (-2-2,\;4-3)=(-4,1).
Logo a equação paramétrica é
r_{2}:\quad \begin{cases} x = 2 - 4s,\\\ y = 3 + s, \end{cases}
onde (s\in\mathbb{R}].
Passo 4
No ponto de interseção os dois pares \bigl(x,y\bigr) coincidem. Portanto devemos resolver
3 + t = 2 - 4s, \qquad 4 + 2t = 3 + s.
Isso gera o sistema
\begin{cases} t + 4s = -1,\\\\ 2t - s = -1. \end{cases}
Passo 5
Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
t = -1 - 4s.
Substituindo na segunda:
2(-1 - 4s) - s = -1 \;\Longrightarrow\; -2 -8s - s = -1 \;\Longrightarrow\; -9s = 1 \;\Longrightarrow\; s = -\tfrac{1}{9}.