Defina a transformação linear A: R^2 R^2 por A(x1, x2)=(x1-x2, x1-x2). Ache o vetor v in R^2 de modo que A v é o mais próximo possível do vetor w=(a, b), onde a neq b.

Passo 1

No exercício temos a transformação linear A : R^2toR^2 definida por
A(x1,x2) = (x1 - x2,;x1 - x2)
Queremos escolher v para que A v fique o mais próximo possível de w=(a,b) em norma Euclidiana. Esse é um problema de aproximação por projeção ortogonal da imagem de A sobre o vetor w.

Passo 2

Identificamos o subespaço Im(A). Observe que qualquer imagem A(x1,x2) tem a forma (t,t) com
t = x1 - x2
Logo
Im(A) = ,t,(1,1)mid tinR

Passo 3

Para projetar w=(a,b) no subespaço gerado por (1,1), usamos a fórmula da projeção ortogonal:
t = wcdot(1,1)(1,1)cdot(1,1) = a+b1+1 = a+b2
A projeção é
p = t,(1,1) = l(tfraca+b2,;tfraca+b2r)

Passo 4

Precisamos de v=(x1,x2) tal que A v = p. Isso significa
x1 - x2 = a+b2
Há infinitas soluções; uma escolha simples é tomar x2=0, de onde
x1 = a+b2, x2 = 0

Resposta

Uma escolha conveniente é
v = l(tfraca+b2,,0r),
pois então
A v = l(tfraca+b2,;tfraca+b2r)
é exatamente a projeção de w em Im(A), logo o ponto de Im(A) mais próximo de w.

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