Defina a transformação linear
por
. Ache o vetor
de modo que
é o mais próximo possível do vetor
, onde
.
Passo 1
No exercício temos a transformação linear
definida por
Queremos escolher
para que
fique o mais próximo possível de
em norma Euclidiana. Esse é um problema de aproximação por projeção ortogonal da imagem de
sobre o vetor
.
Passo 2
Identificamos o subespaço
. Observe que qualquer imagem
tem a forma
com
Logo
Passo 3
Para projetar
no subespaço gerado por
, usamos a fórmula da projeção ortogonal:
A projeção é
Passo 4
Precisamos de
tal que
. Isso significa
Há infinitas soluções; uma escolha simples é tomar
, de onde
Resposta
Uma escolha conveniente é
pois então
é exatamente a projeção de
em
, logo o ponto de
mais próximo de
.