Dados vetores não-nulos
em
, defina uma transformação linear
por
Mostre que a transformação linear adjunta
é dada por
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
onde
são vetores não-nulos em
, e pede que a gente ache o adjunto
. Vamos usar a definição de adjunto no produto interno euclidiano.
Passo 2
Por definição, o adjunto
satisfaz, para todos
,
Nosso objetivo é calcular o lado esquerdo e identificar
.
Passo 3
Começamos calculando
Como o produto interno é linear no primeiro fator e
é escalar, temos
Passo 4
Usando a simetria do produto interno,
, podemos escrever
Comparando com
, vemos que