Dados vetores não-nulos a, b em R^3, defina uma transformação linear A: R^3 R^3 por
A v=lang<=v, arang<= b
Mostre que a transformação linear adjunta A^*: R^3 R^3 é dada por
A^* w=lang<=w, brang<= a

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear A:R^3toR^3 por
Av = lang<= v, arang<=,b,
onde a,b são vetores não-nulos em R^3, e pede que a gente ache o adjunto A^*. Vamos usar a definição de adjunto no produto interno euclidiano.

Passo 2

Por definição, o adjunto A^* satisfaz, para todos v,winR^3,
lang<= Av,,wrang<= ;=;lang<= v,,A^*wrang<=
Nosso objetivo é calcular o lado esquerdo e identificar A^*w.

Passo 3

Começamos calculando
lang<= Av,,wrang<= =llang<= lang<= v,arang<=,b,,wrrang<=
Como o produto interno é linear no primeiro fator e lang<= v,arang<= é escalar, temos
lang<= Av,,wrang<= =lang<= v,arang<=;lang<= b,wrang<=

Passo 4

Usando a simetria do produto interno, lang<= b,wrang<= = lang<= w,brang<=, podemos escrever
lang<= Av,,wrang<= =lang<= v,arang<=;lang<= w,brang<= =llang<= v,,lang<= w,brang<=,arrang<=
Comparando com lang<= Av,wrang<= = lang<= v,A^*wrang<=, vemos que
A^*w ;=;lang<= w,brang<=,a

Resposta

A^*w = lang<= w,,brang<=,a

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