Dados os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) :
Ache o ponto em \overrightarrow{A B} cuja coordenada y é igual a 5 .
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) e pede: encontrar o ponto pertencente à reta orientada (raio) \overrightarrow{AB} cuja coordenada y vale 5.
Informações relevantes fornecidas:
Ponto inicial do raio: A=(-3,2).
Segundo ponto que define a direção do raio: B=(5,4).
Queremos um ponto P sobre \overrightarrow{AB} tal que a sua coordenada y seja 5.
Passo 2
Representação vetorial de um ponto qualquer no raio \overrightarrow{AB}.
Qualquer ponto P em \overrightarrow{AB} pode ser escrito como
P(t)=A+t\overrightarrow{AB},
onde t é um parâmetro real e a condição de ser raio (e não toda a reta) implica
t\ge 0.
Aqui A é o ponto inicial, \overrightarrow{AB} é o vetor direção, e t escala esse vetor a partir de A.
Passo 3
Calcular o vetor direção \overrightarrow{AB} a partir das coordenadas de A e B. Por definição,
\overrightarrow{AB}=B-A=(5-(-3),\,4-2)=(8,\,2).
Passo 4
Escrever as coordenadas paramétricas de P(t). Substituindo A e \overrightarrow{AB},
P(t)=(-3,\,2)+t(8,\,2)=(-3+8t,\;2+2t).
Ou seja, as coordenadas de P(t) são
x(t)=-3+8t,\qquad y(t)=2+2t,
com t\ge 0.
Passo 5
Impor a condição y=5 e resolver para t. Temos
2+2t=5.
Subtraindo 2 de ambos os lados,
2t=3,
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t=\frac{3}{2}.
Note que t=\tfrac{3}{2}>0, portanto o ponto encontrado realmente pertence ao raio \overrightarrow{AB}.
Passo 6
Calcular a coordenada x correspondente a t=\tfrac{3}{2}. Usando x(t)=-3+8t,