Dados os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) :
Ache o ponto em \overrightarrow{A B} cuja coordenada y é igual a 5 .

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) e pede: encontrar o ponto pertencente à reta orientada (raio) \overrightarrow{AB} cuja coordenada y vale 5.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto inicial do raio: A=(-3,2).
  • Segundo ponto que define a direção do raio: B=(5,4).
  • Queremos um ponto P sobre \overrightarrow{AB} tal que a sua coordenada y seja 5.

Passo 2

Representação vetorial de um ponto qualquer no raio \overrightarrow{AB}.
Qualquer ponto P em \overrightarrow{AB} pode ser escrito como
P(t)=A+t\overrightarrow{AB},
onde t é um parâmetro real e a condição de ser raio (e não toda a reta) implica
t\ge 0.
Aqui A é o ponto inicial, \overrightarrow{AB} é o vetor direção, e t escala esse vetor a partir de A.

Passo 3

Calcular o vetor direção \overrightarrow{AB} a partir das coordenadas de A e B. Por definição,
\overrightarrow{AB}=B-A=(5-(-3),\,4-2)=(8,\,2).

Passo 4

Escrever as coordenadas paramétricas de P(t). Substituindo A e \overrightarrow{AB},
P(t)=(-3,\,2)+t(8,\,2)=(-3+8t,\;2+2t).
Ou seja, as coordenadas de P(t) são
x(t)=-3+8t,\qquad y(t)=2+2t,
com t\ge 0.

Passo 5

Impor a condição y=5 e resolver para t. Temos
2+2t=5.
Subtraindo 2 de ambos os lados,
2t=3,
logo
t=\frac{3}{2}.
Note que t=\tfrac{3}{2}>0, portanto o ponto encontrado realmente pertence ao raio \overrightarrow{AB}.

Passo 6

Calcular a coordenada x correspondente a t=\tfrac{3}{2}. Usando x(t)=-3+8t,
x\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-3+8\cdot\frac{3}{2}=-3+12=9.
Portanto o ponto procurado é
P=\bigl(9,\,5\bigr).

Passo 7

Verificação rápida: o vetor de A para P é
\overrightarrow{AP}=P-A=(9-(-3),\,5-2)=(12,\,3),
que é exatamente \tfrac{3}{2} vezes \overrightarrow{AB}=(8,2), pois
\tfrac{3}{2}\cdot(8,2)=(12,3).
Isso confirma que P está sobre a mesma direção e no sentido de \overrightarrow{AB}.

Resposta

(9,5)

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