Dados os pontos A(2,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,1)
(a) Calcule a área do triângulo que tem esses pontos como vértices
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço: A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,1). A pergunta é:
(a) Calcular a área do triângulo com vértices em A, B e C.
Informações relevantes que temos:
Coordenadas dos vértices A, B e C (cada coordenada está em \mathbb{R}^3).
Queremos a área da figura plana triangular determinada por esses três pontos.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): uma forma prática e padrão em geometria vetorial para achar a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 é usar vetores e produto vetorial. A razão:
Se pegarmos dois vetores que saem do mesmo vértice e vão para os outros dois vértices, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, a área do paralelogramo formado por esses vetores é igual à norma do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.
O triângulo é a metade desse paralelogramo, então a área do triângulo é \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.
Vou usar esse método porque é direto, eficiente e fácil de aplicar sem calculadora para coordenadas pequenas como essas.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Definição: se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), então \overrightarrow{PQ} = (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\;2-0,\;0-0) = (-2,\;2,\;0).
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-2,\;0-0,\;1-0) = (-2,\;0,\;1).
Passo 4
Explicar e calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Fórmula: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Parabéns — chegamos ao resultado de forma direta usando vetores. Lembre-se: em prova, calcule dois vetores a partir de um mesmo vértice, faça o produto vetorial, tire a norma e divida por 2. É um procedimento mecânico que dá segurança quando se está com pressa.