Dados os pontos A(2,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,1)
(a) Calcule a área do triângulo que tem esses pontos como vértices

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,1). A pergunta é:
  • (a) Calcular a área do triângulo com vértices em A, B e C.
Informações relevantes que temos:
  • Coordenadas dos vértices A, B e C (cada coordenada está em \mathbb{R}^3).
  • Queremos a área da figura plana triangular determinada por esses três pontos.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): uma forma prática e padrão em geometria vetorial para achar a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 é usar vetores e produto vetorial. A razão:
  • Se pegarmos dois vetores que saem do mesmo vértice e vão para os outros dois vértices, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, a área do paralelogramo formado por esses vetores é igual à norma do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.
  • O triângulo é a metade desse paralelogramo, então a área do triângulo é \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.
Vou usar esse método porque é direto, eficiente e fácil de aplicar sem calculadora para coordenadas pequenas como essas.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Definição: se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), então \overrightarrow{PQ} = (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\;2-0,\;0-0) = (-2,\;2,\;0).
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-2,\;0-0,\;1-0) = (-2,\;0,\;1).

Passo 4

Explicar e calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Fórmula: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aqui \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(-2,2,0) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AC}=(-2,0,1). Calculando componente a componente:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 2\cdot1 - 0\cdot0 = 2.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 0\cdot(-2) - (-2)\cdot1 = 0 - (-2) = 2.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = (-2)\cdot0 - 2\cdot(-2) = 0 - (-4) = 4.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (2,\;2,\;4).

Passo 5

Calcular a norma (módulo) do vetor resultante e relacioná-la à área.
Fórmula da norma: se \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então \|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aplicando a \mathbf{w}=(2,2,4):
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{2^2+2^2+4^2} = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}.
Simplificando \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot6} = 2\sqrt{6}.

Passo 6

Obter a área do triângulo: é metade da norma do produto vetorial.
\text{Área} = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}.Á
Parabéns — chegamos ao resultado de forma direta usando vetores. Lembre-se: em prova, calcule dois vetores a partir de um mesmo vértice, faça o produto vetorial, tire a norma e divida por 2. É um procedimento mecânico que dá segurança quando se está com pressa.

Resposta

\sqrt{6}

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