1. Plano : x-2 y+z-1=0 Calcule o ponto P(x, y, z) no plano e tal que o vetor 0 P seja ortogonal ao plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano \,x-2y+z-1=0\, e pede para calcular um ponto P=(x,y,z) que satisfaça duas condições:
  • P pertence ao plano \,x-2y+z-1=0.
  • O vetor \,0P (ou seja, o vetor que vai da origem ao ponto P) é ortogonal ao plano.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação do plano é \,x-2y+z-1=0.
  • O vetor 0P tem componentes (x,y,z) porque ele vai da origem (0,0,0) até P=(x,y,z).

Passo 2

Entendendo o que significa “vetor 0P ortogonal ao plano” (a ideia chave).
  • Um plano dado por \,ax+by+cz+d=0\, tem um vetor normal \,n=(a,b,c). Esse vetor n é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
  • Aqui a equação do plano é \,x-2y+z-1=0\,. Então o vetor normal é \,n=(1,-2,1) (peguei os coeficientes de x, y e z da equação do plano).
  • Um vetor é ortogonal ao plano exatamente quando é paralelo ao vetor normal. Ou seja, se 0P é ortogonal ao plano, então existe um escalar t tal que
0P = t\,n.
Explicando o produto escalar rapidamente para entender: dois vetores u e v são ortogonais se \,u\cdot v=0\,. O vetor normal n satisfaz n\cdot w=0 para qualquer vetor w do plano. Portanto, qualquer vetor perpendicular ao plano tem de ser paralelo a n.

Passo 3

Expressar P em função do parâmetro t usando a paralelidade com o normal.
  • Como 0P é paralelo a n=(1,-2,1), escrevemos
(x,y,z)=0P = t(1,-2,1).
  • Assim
x=t,\qquad y=-2t,\qquad z=t.

Passo 4

Impor que P pertence ao plano substituindo as coordenadas na equação do plano.
  • Substituindo \,x=t,\;y=-2t,\;z=t\, em \,x-2y+z-1=0\, obtemos
t - 2(-2t) + t - 1 = 0.
  • Calculemos passo a passo:
t - 2(-2t) + t - 1 = t + 4t + t - 1 = 6t - 1.
  • Portanto a equação fica \,6t-1=0\,, daí
t=\tfrac{1}{6}.

Passo 5

Obter as coordenadas finais de P e checar rapidamente.
  • Substituindo t=\tfrac{1}{6} em (x,y,z)=(t,-2t,t) temos
x=\tfrac{1}{6},\qquad y=-2\cdot\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{3},\qquad z=\tfrac{1}{6}.
  • Verificação rápida (opcional, só para ter certeza): na equação do plano
x-2y+z-1=\tfrac{1}{6}-2\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)+\tfrac{1}{6}-1 =\tfrac{1}{6}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6}-1=1-1=0,
logo P realmente pertence ao plano. Além disso 0P é múltiplo de (1,-2,1), então é ortogonal ao plano.

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right)

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