- Plano :
Calcule o ponto
no plano e tal que o vetor
seja ortogonal ao plano.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede para calcular um ponto
que satisfaça duas condições:
-
pertence ao plano . - O vetor
(ou seja, o vetor que vai da origem ao ponto ) é ortogonal ao plano.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação do plano é
. - O vetor
tem componentes porque ele vai da origem até .
Passo 2
Entendendo o que significa “vetor
ortogonal ao plano” (a ideia chave).
- Um plano dado por
tem um vetor normal . Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. - Aqui a equação do plano é
. Então o vetor normal é (peguei os coeficientes de , e da equação do plano). - Um vetor é ortogonal ao plano exatamente quando é paralelo ao vetor normal. Ou seja, se
é ortogonal ao plano, então existe um escalar tal que
Explicando o produto escalar rapidamente para entender: dois vetores
e
são ortogonais se
. O vetor normal
satisfaz
para qualquer vetor
do plano. Portanto, qualquer vetor perpendicular ao plano tem de ser paralelo a
.
Passo 3
Expressar
em função do parâmetro
usando a paralelidade com o normal.
- Como
é paralelo a , escrevemos
- Assim
Passo 4
Impor que
pertence ao plano substituindo as coordenadas na equação do plano.
- Substituindo
em obtemos
- Calculemos passo a passo:
- Portanto a equação fica
, daí
Passo 5
Obter as coordenadas finais de
e checar rapidamente.
- Substituindo
em temos
- Verificação rápida (opcional, só para ter certeza): na equação do plano
logo
realmente pertence ao plano. Além disso
é múltiplo de
, então é ortogonal ao plano.