Verifique se os vetores \hat{i}=(3,-4) e \vec{j}=(-1 / 2,9) formam uma base de vetores no plano.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \hat{i}=(3,-4) e \vec{j}=(-\tfrac12,9) formam uma base de \mathbb R^2. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos usar o critério de independência linear via determinante de matriz 2\times2.

Passo 2

Dois vetores de \mathbb R^2 formam base se, quando colocados como colunas de uma matriz 2\times2, o determinante dessa matriz for não nulo. Montamos a matriz
M = \begin{pmatrix} 3 & -\tfrac12\\\\ -4 & 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M) = 3\cdot 9 \;-\;(-4)\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = 27 - 2 = 25.

Passo 4

Como \det(M)=25\neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb R^2.

Resposta

Sim, eles formam uma base, pois o determinante é 25\neq0.

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