Dados os pontos A, B, C e D no espaço, sejam u=A B, v=A C e w=A D. Prove que os vetores u, v e w săo linearmente independentes se, e somente se, os quatro pontos dados não sāo coplanares.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: Temos quatro pontos A, B, C e D no espaço e definimos os vetores u= AB, v= AC e w= AD. O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente independentes se, e somente se, A, B, C e D não são coplanares. Vamos usar conceitos de dependência linear, combinação linear de vetores e definição de coplanaridade de pontos.

Passo 2

Prova da implicação “se os pontos A, B, C e D são coplanares, então u, v e w são linearmente dependentes”: Se A, B e C estão em um mesmo plano e D também, então D pode ser escrito como combinação afim de A, B e C. Em termos vetoriais, colocando A como origem, existem escalares alpha e beta tais que
AD=alpha,AB+beta,AC
Isso significa exatamente que
w=alpha,u+beta,v,
ou seja, w está na combinação linear de u e v, o que implica que u, v e w são linearmente dependentes.

Passo 3

Prova da implicação “se u, v e w são linearmente dependentes, então A, B, C e D são coplanares”: Se u, v e w são dependentes, existem escalares a,b,c, não todos nulos, com
a,u+b,v+c,w=0
Há dois casos:
  • Se cne0, então
w=-ac,u-bc,v,
logo D (ponto final de w) fica em A+spanu,v, que é justamente o plano determinado por A, B e C. Todos os quatro pontos são coplanares.
  • Se c=0, então a,u+b,v=0. Se u e v são dependentes, significa que B, A e C são colineares, e qualquer quarto ponto D também estará no mesmo plano (na verdade, na mesma reta, que é caso particular de plano). Se u e v fossem independentes, não poderia existir combinação não trivial que zere a,u+b,v. De qualquer forma, conclui-se que A, B, C e D são coplanares.

Passo 4

Conclusão geral: As duas implicações juntas mostram que u, v e w são linearmente independentes se, e somente se, os pontos A, B, C e D não são coplanares.

Resposta

Vetores u, v e w são linearmente independentes ⇔ pontos A, B, C e D não são coplanares.

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