Sejam B=(u, v, w) uma base de V^3 e os vetores z1=2 u-v, z2=u+v, z3= u-v+w :
a) Mostre que Z=(z1, z2, z3) também é uma base de V^3.
b) Determine as coordenadas de b=(1,2,3)B na base Z.
c) Determine as coordenadas de z=(1,2,3)Z na base B.

Passo 1

O enunciado fala de mudança de base em V^3. Temos a base B=(vec u,vec v,vec w) e três vetores
z1=2vec u-vec v, z2=vec u+vec v, z3=vec u-vec v+vec w
(a) Queremos mostrar que Z=(z1,z2,z3) é base.
(b) Dado vec b=(1,2,3)B, achar suas coordenadas em Z.
(c) Dado vec z=(1,2,3)Z, achar suas coordenadas em B.
Vamos usar o fato de que, ao escrever os zi em coordenadas na base B, formamos uma matriz de mudança de base e podemos verificar invertibilidade (determinante não nulo) e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos cada zi em coordenadas relativas a B. Em B-coordenadas:
z1mapsto(2,,-1,,0), z2mapsto(1,,1,,0), z3mapsto(1,,-1,,1)
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
M = 2 & 1 & 1 -1 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Calculamos o determinante:
det(M) =2cdotl(1cdot1-(-1)cdot0r) -1cdotl((-1)cdot1-(-1)cdot0r) +1cdotl((-1)cdot0-1cdot0r) =2-(-1)=3neq0
Como det(M)neq0, as colunas são linearmente independentes e Z é base de V^3.

Passo 3

Queremos
Ou seja,
De , logo .
Então

Passo 4

Agora vec z=(1,2,3)Z = 1z1+2z2+3z3.
Em coordenadas B:
1,(2,-1,0)+2,(1,1,0)+3,(1,-1,1) =(2+2+3,,-1+2-3,,0+0+3) =(7,,-2,,3)

Resposta

a) Z é base porque det(M)=3neq0.
b) vec bZ=l(-tfrac73,;tfrac83,;3r)
c) vec zB=(7,,-2,,3)

Exercícios relacionados