Sejam
.
Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois vetores em
são paralelos (ou colineares) se, e somente se, as razões
são todas iguais. Vamos usar a definição de paralelismo:
significa que existe
tal que
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha
. Então por definição existe
satisfazendo
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos para
:
Passo 3
Como
, podemos dividir cada igualdade por
e concluir
o que vale simultaneamente para
. Logo
Passo 4
(Prova de “
”) Agora suponha que
Como cada
, essa razão
está bem definida. Então para
temos
ou seja, em notação vetorial
Isso mostra que
é múltiplo escalar de
, logo
.
Passo 5
Com as duas implicações demonstradas, concluímos a equivalência desejada.
Resposta
Demonstração completa de