Sejam u=(u1, u2, u3), v=(v1, v2, v3), v1 cdot v2 cdot v3 neq 0.
Prove que u | v Leftrightarrow u1v1=u2v2=u3v3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois vetores em R^3
u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3), v1v2v3neq0
são paralelos (ou colineares) se, e somente se, as razões tfracuivi são todas iguais. Vamos usar a definição de paralelismo:
uparal<=lv significa que existe lambdainR tal que
u=lambda,v

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”) Suponha uparal<=lv. Então por definição existe lambdainR satisfazendo
u=lambda,v
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos para i=1,2,3:
ui=lambda,vi

Passo 3

Como vineq0, podemos dividir cada igualdade por vi e concluir
uivi=lambda,
o que vale simultaneamente para i=1,2,3. Logo
u1v1=u2v2=u3v3

Passo 4

(Prova de “ Leftarrow”) Agora suponha que
u1v1=u2v2=u3v3=:lambda
Como cada vineq0, essa razão lambda está bem definida. Então para i=1,2,3 temos
ui=lambda,vi,
ou seja, em notação vetorial
u=(u1,u2,u3)=(lambda v1,lambda v2,lambda v3)=lambda,v
Isso mostra que u é múltiplo escalar de v, logo uparal<=lv.

Passo 5

Com as duas implicações demonstradas, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

Demonstração completa de
uparal<=lv;Long<=ftrightarrow;u1v1=u2v2=u3v3

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