Mostre algebricamento que se u e v são LD, então u, v e w são LD independentemente da escolha do vetor w. Faça a interpretação geométrica deste resultado.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, se dois vetores u e v são linearmente dependentes, então o conjunto u,v,w é sempre linearmente dependente, não importando o vetor w. O conteúdo que vamos usar é a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é LD se existe combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.

Passo 2

Como u e v são LD, existem escalares alpha,beta, nem ambos zero, tais que
alpha,u + beta,v = 0

Passo 3

Observe que podemos estender essa combinação aos três vetores u,v,w simplesmente usando coeficiente zero para w. Isto é,
alpha,u + beta,v + 0cdotw = 0,
onde (alpha,beta,0)neq(0,0,0). Pela definição, isso mostra que u,v,w é LD.

Passo 4

Geométricamente, dizer que u e v são LD significa que ambos apontam na mesma direção (ou um é o vetor nulo), ou seja, eles estão sobre a mesma reta que passa pela origem. Colocar um terceiro vetor w não muda o fato de que v continua “repetido” em relação a u. Logo, o conjunto de três vetores nunca forma um sistema totalmente independente: sempre sobra um vetor que é combinação dos outros.

Resposta

Como existe combinação não trivial
alpha u + beta v + 0 cdot w = 0,
seguindo a definição, u,v,w são linearmente dependentes, quaisquer que sejam w. \n
Geom.,: u e v colineares definem uma reta, e adicionar w não elimina a redundância de v.

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