Mostre algebricamento que se
e
são LD, então
,
e
são LD independentemente da escolha do vetor
. Faça a interpretação geométrica deste resultado.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, se dois vetores
e
são linearmente dependentes, então o conjunto
é sempre linearmente dependente, não importando o vetor
. O conteúdo que vamos usar é a definição de dependência linear: um conjunto de vetores é LD se existe combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
Passo 2
Como
e
são LD, existem escalares
, nem ambos zero, tais que
Passo 3
Observe que podemos estender essa combinação aos três vetores
simplesmente usando coeficiente zero para
. Isto é,
onde
. Pela definição, isso mostra que
é LD.
Passo 4
Geométricamente, dizer que
e
são LD significa que ambos apontam na mesma direção (ou um é o vetor nulo), ou seja, eles estão sobre a mesma reta que passa pela origem. Colocar um terceiro vetor
não muda o fato de que
continua “repetido” em relação a
. Logo, o conjunto de três vetores nunca forma um sistema totalmente independente: sempre sobra um vetor que é combinação dos outros.
Resposta
Como existe combinação não trivial
seguindo a definição,
são linearmente dependentes, quaisquer que sejam
. \n
Geom.,: e
colineares definem uma reta, e adicionar
não elimina a redundância de
.
Geom.,: