Dados os pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e P(1,1,1), determine:
a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo formado pelos pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1) no espaço tridimensional. O conteúdo usado será geometria analítica vetorial, mais especificamente o cálculo de área via produto vetorial de dois lados do triângulo.

Passo 2

Vamos obter dois vetores que representam lados do triângulo: \vec{AB} = B - A = (0-1,\;1-0,\;0-0) = (-1,1,0) \vec{AC} = C - A = (0-1,\;0-0,\;1-0) = (-1,0,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC} usando determinante:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -1 & 1 & 0 \\[3pt] -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,1,1).]

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\,(1,1,1)\,\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.
Como a área do triângulo é metade da norma do produto vetorial, temos
\text{Área}_{ABC} = \tfrac12\,\|\vec{AB}\times\vec{AC}\| = \tfrac12\,\sqrt{3}.Á

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2}

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