Dados os pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e P(1,1,1), determine:
o volume do tetraedro de base A B C e vértice no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro de base ABC e vértice em P. O conteúdo envolvido é o produto misto de vetores em \mathbb{R}^3, pois o módulo do produto misto de três vetores que saem de um mesmo vértice dá seis vezes o volume do tetraedro formado por eles.

Passo 2

Escolhemos A como vértice de referência e definimos os vetores
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1),
\overrightarrow{AP}=P-A=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1).

Passo 3

Calculamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -1\cdot(0\cdot1-1\cdot1) -(-1)\cdot(1\cdot1-0\cdot0) +0\cdot(\dots) =1+1=2.

Passo 4

A fórmula do volume é
V=\frac{1}{6}\bigl|\det[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]\bigr|
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V=\frac{1}{6}\times|2|=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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