Dados os pontos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e P(1,1,1), determine:
os pontos M e N que dividem A B em três segmentos de mesmo comprimento.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,0,0) e B(0,1,0) e pede os pontos M e N que dividem o segmento AB em três partes iguais. O conteúdo aqui é a fórmula do ponto que divide um segmento na razão k:1, ou equivalentemente a adição de vetores para escalonar em frações iguais.
Passo 2
Vamos usar que, em coordenadas, se queremos o ponto que está a uma fração \lambda de A até B, calculamos
M = A + \lambda\,\overrightarrow{AB}.
Primeiro achamos
\overrightarrow{AB} = B - A = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,1,0).
Passo 3
O ponto M corresponde a \lambda = \tfrac13. Logo,
M = A + \tfrac13\,\overrightarrow{AB} = (1,0,0) + \tfrac13\,(-1,1,0) = \bigl(1 - \tfrac13,\;0 + \tfrac13,\;0\bigr) = \bigl(\tfrac23,\tfrac13,0\bigr).
Passo 4
O ponto N corresponde a \lambda = \tfrac23. Assim,
N = A + \tfrac23\,\overrightarrow{AB} = (1,0,0) + \tfrac23\,(-1,1,0) = \bigl(1 - \tfrac23,\;0 + \tfrac23,\;0\bigr) = \bigl(\tfrac13,\tfrac23,0\bigr).