(6,0 pontos) Dados os vetores vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\left(0,-\frac{1}{2}, 0\right) e vec{w}=(-1,2,2), calcular:
o vetor projeção de \vec{w} sobre 2 \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\bigl(0,-\tfrac12,0\bigr) e \vec{w}=(-1,2,2), e pede a projeção de \vec{w} sobre 2\vec{v}. Vamos usar a fórmula da projeção de um vetor \vec{b} sobre um vetor \vec{a}:
\mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.

Passo 2

Calculamos primeiro o vetor 2\vec{v} multiplicando cada componente de \vec{v}=(0,-\tfrac12,0) por 2:
2\vec{v} = \bigl(0,\,-1,\,0\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da projeção. Precisamos de \vec{w}\cdot(2\vec{v}) e de (2\vec{v})\cdot(2\vec{v}):
\vec{w}\cdot(2\vec{v}) = (-1)\cdot 0 \;+\; 2\cdot(-1)\;+\;2\cdot 0 = -2,
(2\vec{v})\cdot(2\vec{v}) = 0^2 \;+\;(-1)^2\;+\;0^2 = 1.

Passo 4

Substituindo na fórmula, obtém-se
\mathrm{proj}_{2\vec{v}}(\vec{w}) = \frac{-2}{1}\,(2\vec{v}) = -2\,(0,-1,0) = (0,2,0).

Resposta

A projeção de \vec{w} sobre 2\vec{v} é (0,2,0).

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