(Questão 01) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) x^{2}+y^{2}=-1
b) x^{2}+4 y^{2}=100
c) y^{2}+2-x=0
d) (x-3)^{2}-(y+4)^{2}=2
( ) Vazio
( ) Parábola
( ) Hipérbole
( ) Elipse

Passo 1

O enunciado pede para classificar quatro equações de segundo grau em \,(x,y) como cônicas do tipo “vazio”, “parábola”, “hipérbole” ou “elipse”. Para isso vamos usar dois critérios principais:
  1. Se a soma de quadrados igual a número negativo não admite ponto real, é “vazio”.
  2. Para equações com só termos quadráticos, usamos a forma padrão ou o discriminante B^{2}-4AC para diferenciar elipse <0, hipérbole >0 ou parábola =0.
    Em casos mais simples, basta reconhecer a forma canônica de cada cônica.

Passo 2

Equação (a):
x^{2}+y^{2}=-1.
Como x^{2}+y^{2}\ge0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, não há solução real que satisfaça a soma igual a -1. Logo essa equação representa o conjunto vazio.

Passo 3

Equação (b):
x^{2}+4\,y^{2}=100.
Dividindo ambos os lados por 100 obtemos
\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1,
que é exatamente a forma padrão de uma elipse centrada na origem.

Passo 4

Equação (c):
y^{2}+2-x=0
Reescrevendo,
x = y^{2}+2.
Isso é uma parábola que abre para a direita, com vértice em (2,0).

Passo 5

Equação (d):
(x-3)^{2}-(y+4)^{2}=2.
É a diferença de dois quadrados igual a constante não nula, na forma canônica de uma hipérbole centrada em (3,-4).

Resposta

(a) Vazio
(b) Elipse
(c) Parábola
(d) Hipérbole

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