Dados os pontos A=(2,3), B=(4,4) e D=(2,1), determine C para que A B C D seja um paralelogramo. Esboce este paralelogramo em um plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(2,3), B=(4,4) e D=(2,1) e pede duas coisas:
Determinar o ponto C de forma que A B C D seja um paralelogramo (os vértices estão na ordem A\to B\to C\to D).
Esboçar esse paralelogramo no plano cartesiano.
Informações relevantes que temos:
Coordenadas de A: x_A=2, y_A=3.
Coordenadas de B: x_B=4, y_B=4.
Coordenadas de D: x_D=2, y_D=1.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma simples) a propriedade geométrica que vamos usar: num paralelogramo os lados opostos são paralelos e têm o mesmo vetor. Em termos de vetores de posição (usando coordenadas), o vetor que vai de A a B é
\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A),
e o vetor que vai de D a C é
\overrightarrow{DC} = (x_C-x_D,\; y_C-y_D).
Como num paralelogramo \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, temos
(x_C-x_D,\; y_C-y_D) = (x_B-x_A,\; y_B-y_A).
Isolando C isso dá a fórmula muito prática
C = D + (B-A),
ou, equivalente,
C = B + D - A.
Explicando em palavras: para obter C basta “transladar” D pelo mesmo vetor que leva A em B (ou somar as coordenadas de B e D e subtrair as de A). Isso evita tentativa e erro e funciona sempre.
Passo 3
Aplicando a fórmula C = B + D - A coordenada a coordenada:
Para a coordenada x:
x_C = x_B + x_D - x_A = 4 + 2 - 2 = 4.
Para a coordenada y:
y_C = y_B + y_D - y_A = 4 + 1 - 3 = 2.
Portanto obtemos
C = (4,2).
Passo 4
Verificação (para ficarmos seguros e aprender mais): calculemos os vetores para confirmar que os lados opostos são iguais.
Vimos que \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} também. Como ambos os pares de lados opostos são vetores iguais, ABCD é realmente um paralelogramo. Boa checagem — isso é útil na prova para garantir que não houve erro de conta.
Passo 5
Como esboçar o paralelogramo no plano cartesiano (passo a passo, sem complicação):
Desenhe dois eixos perpendiculares e coloque marcas inteiras suficientes (por exemplo x de 0 a 5 e y de 0 a 5).
Marque os pontos:
A(2,3) — vá para a direita 2 e para cima 3.
B(4,4) — direita 4, cima 4.
C(4,2) — direita 4, cima 2.
D(2,1) — direita 2, cima 1.
Una os pontos na ordem A\to B\to C\to D\to A com segmentos retos.
Opcional: desenhe as diagonais AC e BD; no paralelogramo elas se cruzam no mesmo ponto médio — isso pode servir como verificação visual.
Dica prática para a prova: desenhe rápido os pontos e conecte-os; se os lados opostos parecerem paralelos e congruentes (mesmos comprimentos e mesma inclinação), está certo. Isso ajuda a ganhar confiança.
Resposta
C=(4,2)
Esboço: marcar A(2,3),\;B(4,4),\;C(4,2),\;D(2,1) no plano cartesiano e ligar na ordem A\to B\to C\to D\to A.