Dados os pontos A=(0,1), B=(2,3) e D=(3,4), determine C para que A B C D seja um paralelogramo. Esboce este paralelogramo em um plano cartesiano. Você realmente obteve um paralelogramo?
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos:
A=(0,1)
B=(2,3)
D=(3,4)
O que é pedido:
Determinar o ponto C tal que A B C D (na ordem dada) seja um paralelogramo.
Esboçar esse paralelogramo em um plano cartesiano.
Responder se realmente obteve um paralelogramo (isto é, verificar).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar — explicando devagarinho:
Pense nos pontos como vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} correspondendo a A,B,C,D.
Em um paralelogramo com vértices na ordem A\to B\to C\to D, os lados opostos são paralelos e iguais. Em linguagem de vetores isso dá \vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}.
Outra propriedade muito prática: as diagonais de um paralelogramo se cortam no mesmo ponto médio. Ou seja, o ponto médio de AC é igual ao ponto médio de BD. Em fórmulas:\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}.Isolando \vec{c} obtemos a fórmula direta:\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}.
Essa fórmula é ótima para a prova porque basta somar coordenadas: C = B + D - A. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcule C coordenada a coordenada usando \vec{c}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}.
Verificações (sempre faça isso na prova para não confiar só no cálculo):
Calcule o vetor \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}:
\overrightarrow{AB}=(2-0,\;3-1)=(2,2).
Calcule o vetor \overrightarrow{DC}=\vec{c}-\vec{d}:
\overrightarrow{DC}=(5-3,\;6-4)=(2,2).
Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, os lados AB e DC são iguais e paralelos — ótimo.
Verifique o outro par de lados: \overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=(3,3) e \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(5-2,\;6-3)=(3,3). Também iguais e paralelos.
Verificação pelas diagonais (opcional, mas confirmatória): ponto médio de AC: