Dados os pontos A=(0,1), B=(2,3) e D=(3,4), determine C para que A B C D seja um paralelogramo. Esboce este paralelogramo em um plano cartesiano. Você realmente obteve um paralelogramo?

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos:
  • A=(0,1)
  • B=(2,3)
  • D=(3,4)
O que é pedido:
  1. Determinar o ponto C tal que A B C D (na ordem dada) seja um paralelogramo.
  2. Esboçar esse paralelogramo em um plano cartesiano.
  3. Responder se realmente obteve um paralelogramo (isto é, verificar).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar — explicando devagarinho:
  • Pense nos pontos como vetores posição \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} correspondendo a A,B,C,D.
  • Em um paralelogramo com vértices na ordem A\to B\to C\to D, os lados opostos são paralelos e iguais. Em linguagem de vetores isso dá \vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}.
  • Outra propriedade muito prática: as diagonais de um paralelogramo se cortam no mesmo ponto médio. Ou seja, o ponto médio de AC é igual ao ponto médio de BD. Em fórmulas: \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}.Isolando \vec{c} obtemos a fórmula direta: \vec{c}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}.
  • Essa fórmula é ótima para a prova porque basta somar coordenadas: C = B + D - A. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule C coordenada a coordenada usando \vec{c}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}.
  • Coordenada x: x_C = x_B + x_D - x_A = 2 + 3 - 0 = 5.
  • Coordenada y: y_C = y_B + y_D - y_A = 3 + 4 - 1 = 6.
Portanto:
C=(5,6).

Passo 4

Verificações (sempre faça isso na prova para não confiar só no cálculo):
  • Calcule o vetor \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}:
    \overrightarrow{AB}=(2-0,\;3-1)=(2,2).
  • Calcule o vetor \overrightarrow{DC}=\vec{c}-\vec{d}:
    \overrightarrow{DC}=(5-3,\;6-4)=(2,2).
    Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, os lados AB e DC são iguais e paralelos — ótimo.
  • Verifique o outro par de lados: \overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=(3,3) e \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(5-2,\;6-3)=(3,3). Também iguais e paralelos.
  • Verificação pelas diagonais (opcional, mas confirmatória): ponto médio de AC:
    M_{AC}=\Big(\frac{0+5}{2},\;\frac{1+6}{2}\Big)=(2{,}5,\;3{,}5).
    ponto médio de BD:
    M_{BD}=\Big(\frac{2+3}{2},\;\frac{3+4}{2}\Big)=(2{,}5,\;3{,}5).
    Os pontos médios coincidem, como exigido num paralelogramo.
Essas três verificações mostram claramente que o quadrilátero A B C D é um paralelogramo.

Passo 5

Como esboçar no plano cartesiano (guia passo a passo para desenhar à mão na prova):
  1. Faça um sistema de eixos x e y. Como as coordenadas vão até 5 e 6, marque do x=0 ao x=6 e do y=0 ao y=7 com espaçamento uniforme.
  2. Plote os pontos:
    • A(0,1): sobre o eixo y em y=1.
    • B(2,3).
    • D(3,4).
    • C(5,6) (resultado que calculamos).
  3. Una os pontos na ordem A\to B\to C\to D\to A com linhas retas.
  4. Opcional: desenhe as diagonais AC e BD para ver que se cruzam no ponto médio comum.
  5. Rotule os pontos com as letras para ficar bonito e claro.
Dica prática: mantenha as escalas iguais nos eixos e use pontos marcados — assim fica óbvio visualmente que os lados opostos são paralelos.

Passo 6

Resumo rápido de como fazer isso rápido na prova:
  • Use a fórmula \vec{c}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a} sempre que der os três vértices consecutivos A,B,D (ou troque a ordem conforme o caso).
  • Verifique um par de vetores de lados opostos (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC}) para garantir que deu certo.
  • Se tiver tempo, confira também os pontos médios das diagonais — é uma verificação curta e infalível.
Vai dar tudo certo! Respira, faz as somas coordenada a coordenada e confere com um vetor — é quase mecânico.

Resposta

C=(5,6)
Sim.

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