Sejam f e f \circ g as funções definidas por f(x)=\frac{4 x-4}{x} e (f \circ g)(x)=\frac{x+3}{x-1}. Determine a função g(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a função g tal que a composição f\circ g seja a função indicada. Informações fornecidas:
  • f é a função definida por f(x)=\dfrac{4x-4}{x}.
  • A composição f\circ g é a função \dfrac{x+3}{x-1}.
    O que precisa ser determinado: a expressão de g(x) tal que
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\dfrac{x+3}{x-1}.

Passo 2

Primeiro vou escrever f de uma forma que facilite substituir g(x). Para uma variável genérica u temos
f(u)=\dfrac{4u-4}{u}=4-\dfrac{4}{u}.
Explicação rápida: ao dividir 4u-4 por u pode-se separar em 4u/u-4/u, que dá 4-4/u. Isso é útil porque a composição f(g(x)) fica simplesmente 4-4/g(x).

Passo 3

Agora escrevo a equação que define g pela composição:
f(g(x))=4-\dfrac{4}{g(x)}=\dfrac{x+3}{x-1}.
Essa é uma equação em g(x). O objetivo é isolar g(x).

Passo 4

Faço as operações algébricas passo a passo para isolar g(x).
Subtraio 4 dos dois lados:
-\dfrac{4}{g(x)}=\dfrac{x+3}{x-1}-4.
Coloco o lado direito sobre um único denominador:
\dfrac{x+3}{x-1}-4=\dfrac{x+3-4(x-1)}{x-1}=\dfrac{x+3-4x+4}{x-1}=\dfrac{-3x+7}{x-1}.
Assim
-\dfrac{4}{g(x)}=\dfrac{-3x+7}{x-1}.
Multiplico ambos os lados por -1:
\dfrac{4}{g(x)}=\dfrac{3x-7}{x-1}.
Agora inverto ambos os lados (lembrando que isso é permitido desde que nenhum lado seja zero; trataremos restrições depois):
\dfrac{g(x)}{4}=\dfrac{x-1}{3x-7}.
Multiplico por 4 e obtenho
g(x)=\dfrac{4(x-1)}{3x-7}.

Passo 5

Verificação rápida e observações sobre domínio (importante para a prova):
  • Verifico substituindo g(x) em f:
f(g(x))=4-\dfrac{4}{\dfrac{4(x-1)}{3x-7}}=4-\dfrac{4\,(3x-7)}{4(x-1)}=4-\dfrac{3x-7}{x-1}.
Agora simplifico:
4-\dfrac{3x-7}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-(3x-7)}{x-1}=\dfrac{4x-4-3x+7}{x-1}=\dfrac{x+3}{x-1},
que é exatamente a função dada para f\circ g. Boa: a expressão encontrada funciona algebraicamente.
  • Restrições de domínio que aparecem:
    • A expressão \dfrac{x+3}{x-1} já exige x\neq 1.
    • A expressão encontrada para g tem denominador 3x-7, então exige x\neq \tfrac{7}{3}.
    • Além disso, f não está definida em 0, então é necessário que g(x)\neq 0. A condição g(x)=0 ocorreria quando x=1 (pois 4(x-1)=0), mas x=1 já é excluído, então não há novo ponto proibido além dos mencionados.
      Portanto a expressão é consistente e válida para os x em que tudo está definido (em particular x\neq 1 e x\neq \tfrac{7}{3}).

Resposta

g(x)=\dfrac{4(x-1)}{3x-7}

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