Sejam
e
as funções definidas por
e
. Determine a função
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede a função
tal que a composição
seja a função indicada. Informações fornecidas:
-
é a função definida por . - A composição
é a função .
O que precisa ser determinado: a expressão detal que
Passo 2
Primeiro vou escrever
de uma forma que facilite substituir
. Para uma variável genérica
temos
Explicação rápida: ao dividir
por
pode-se separar em
, que dá
. Isso é útil porque a composição
fica simplesmente
.
Passo 3
Agora escrevo a equação que define
pela composição:
Essa é uma equação em
. O objetivo é isolar
.
Passo 4
Faço as operações algébricas passo a passo para isolar
.
Subtraio
dos dois lados:
Coloco o lado direito sobre um único denominador:
Assim
Multiplico ambos os lados por
:
Agora inverto ambos os lados (lembrando que isso é permitido desde que nenhum lado seja zero; trataremos restrições depois):
Multiplico por
e obtenho
Passo 5
Verificação rápida e observações sobre domínio (importante para a prova):
- Verifico substituindo
em :
Agora simplifico:
que é exatamente a função dada para
. Boa: a expressão encontrada funciona algebraicamente.
- Restrições de domínio que aparecem:
- A expressão
já exige . - A expressão encontrada para
tem denominador , então exige . - Além disso,
não está definida em , então é necessário que . A condição ocorreria quando (pois ), mas já é excluído, então não há novo ponto proibido além dos mencionados.
Portanto a expressão é consistente e válida para osem que tudo está definido (em particular e ).
- A expressão