Seja
.
Encontre
e g
, considerando que
.
Encontre
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede as composições
e
. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que precisamos entregar:
- A expressão simplificada de
e suas restrições de domínio (valores de que tornam alguma parte indefinida). - A expressão simplificada de
e suas restrições de domínio.
Passo 2
O que significa compor funções e como vou proceder (passo a passo didático):
- Definição:
significa substituir a variável em pela expressão . - Procedimento prático: primeiro simplificar
se for útil; depois substituir em e simplificar a fração resultante, prestando atenção em denominadores para anotar restrições de domínio (valores proibidos). - Mesmo raciocínio para
: substituir em .
Vou mostrar todas as manipulações algébricas passo a passo, explicando cada simplificação (como juntar frações, cancelar fatores iguais no numerador e denominador, e identificar onde aparecem zeros em denominadores).
Passo 3
Primeiro simplifico
porque isso deixa as contas mais limpas:
Coloco em denominador comum:
Portanto
Observação sobre domínio até aqui: para que
esteja definida é preciso
, ou seja
. Vou anotar isso e também verificar restrições adicionais quando formar as composições.
Passo 4
Calcular
substituindo
em
.
Definição de :
Definição de
Aqui
. Então
Substituo
:
Calculo do numerador:
Calculo do numerador:
Faço a soma no numerador:
logo
Agora o denominador:
Portanto
Quando temos uma fração dividida por outra fração, multiplicamos pelo inverso; os fatores
no numerador e denominador cancelam (desde que
):
Restrições de domínio para
:
- Já era necessário
para estar definido. - Além disso,
exige que (pois tem denominador ). Vamos resolver :
De fato,
torna o denominador final
igual a zero. Então as restrições finais são
e
.
Passo 5
Agora calcular
. Procedo substituindo
em
.
Recordando:
Então
Calculo
:
Faço a subtração no numerador:
Portanto
Agora a parte
:
pois
cancela (desde que
).
Agora subtraio 1:
Agora subtraio 1:
Faço a conta no numerador:
Logo
Restrições de domínio para
:
-
exige . - Também é preciso que
(denominador de ). Já encontramos ; isso é zero quando , ou seja . Então .
Portanto o domínio deexclui e .
Passo 6
Verificação rápida com um valor numérico para ganhar confiança (checagem):
- Tomo
(que não está nas restrições). -
. Então . - Pela fórmula obtida
. Confere. -
. Então . - Pela fórmula
. Confere.
-
As expressões e restrições estão consistentes com a checagem.