Seja f(x)=\frac{2 x+1}{x-1}.
Encontre f o g e g o f, considerando que g(x)=\frac{x}{2 x-1}-1.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede as composições f\circ g e g\circ f. As informações fornecidas são:
  • f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}.
  • g(x)=\dfrac{x}{2x-1}-1.
O que precisamos entregar:
  • A expressão simplificada de (f\circ g)(x)=f(g(x)) e suas restrições de domínio (valores de x que tornam alguma parte indefinida).
  • A expressão simplificada de (g\circ f)(x)=g(f(x)) e suas restrições de domínio.

Passo 2

O que significa compor funções e como vou proceder (passo a passo didático):
  • Definição: (f\circ g)(x)=f(g(x)) significa substituir a variável x em f pela expressão g(x).
  • Procedimento prático: primeiro simplificar g(x) se for útil; depois substituir g(x) em f e simplificar a fração resultante, prestando atenção em denominadores para anotar restrições de domínio (valores proibidos).
  • Mesmo raciocínio para g(f(x)): substituir f(x) em g.
Vou mostrar todas as manipulações algébricas passo a passo, explicando cada simplificação (como juntar frações, cancelar fatores iguais no numerador e denominador, e identificar onde aparecem zeros em denominadores).

Passo 3

Primeiro simplifico g(x) porque isso deixa as contas mais limpas:
g(x)=\dfrac{x}{2x-1}-1
Coloco em denominador comum:
g(x)=\dfrac{x-(2x-1)}{2x-1}=\dfrac{x-2x+1}{2x-1}=\dfrac{1-x}{2x-1}.
Portanto
g(x)=\dfrac{1-x}{2x-1}.
Observação sobre domínio até aqui: para que g(x) esteja definida é preciso 2x-1\neq0, ou seja x\neq\dfrac{1}{2}. Vou anotar isso e também verificar restrições adicionais quando formar as composições.

Passo 4

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) substituindo g(x) em f.
Definição de f:
f(t)=\dfrac{2t+1}{t-1}.
Aqui t=g(x). Então
(f\circ g)(x)=\dfrac{2\,g(x)+1}{g(x)-1}.
Substituo g(x)=\dfrac{1-x}{2x-1}:
Calculo do numerador:
2\,g(x)+1=2\cdot\dfrac{1-x}{2x-1}+1=\dfrac{2(1-x)}{2x-1}+\dfrac{2x-1}{2x-1}=\dfrac{2(1-x)+ (2x-1)}{2x-1}.
Faço a soma no numerador:
2(1-x)+(2x-1)=2-2x+2x-1=1,
logo
2\,g(x)+1=\dfrac{1}{2x-1}.
Agora o denominador:
g(x)-1=\dfrac{1-x}{2x-1}-1=\dfrac{1-x-(2x-1)}{2x-1}=\dfrac{1-x-2x+1}{2x-1}=\dfrac{2-3x}{2x-1}.
Portanto
(f\circ g)(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2x-1}}{\dfrac{2-3x}{2x-1}}.
Quando temos uma fração dividida por outra fração, multiplicamos pelo inverso; os fatores (2x-1) no numerador e denominador cancelam (desde que (2x-1)\neq0):
(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{2-3x}.
Restrições de domínio para (f\circ g)(x):
  • Já era necessário x\neq\dfrac{1}{2} para g(x) estar definido.
  • Além disso, f(g(x)) exige que g(x)\neq1 (pois f tem denominador t-1). Vamos resolver g(x)=1:
\dfrac{1-x}{2x-1}=1 \quad\Rightarrow\quad 1-x=2x-1 \quad\Rightarrow\quad 2=3x \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2}{3}.
De fato, x=\dfrac{2}{3} torna o denominador final 2-3x igual a zero. Então as restrições finais são x\neq\dfrac{1}{2} e x\neq\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Agora calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)). Procedo substituindo f(x) em g.
Recordando:
g(u)=\dfrac{u}{2u-1}-1, \qquad f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}.
Então
(g\circ f)(x)=\dfrac{f(x)}{2f(x)-1}-1.
Calculo 2f(x)-1:
2f(x)-1=2\cdot\dfrac{2x+1}{x-1}-1=\dfrac{4x+2}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}=\dfrac{4x+2-(x-1)}{x-1}.
Faço a subtração no numerador:
4x+2-(x-1)=4x+2-x+1=3x+3=3(x+1).
Portanto
2f(x)-1=\dfrac{3(x+1)}{x-1}.
Agora a parte \dfrac{f(x)}{2f(x)-1}:
\dfrac{f(x)}{2f(x)-1}=\dfrac{\dfrac{2x+1}{x-1}}{\dfrac{3(x+1)}{x-1}}=\dfrac{2x+1}{3(x+1)},
pois (x-1) cancela (desde que x\neq1).
Agora subtraio 1:
(g\circ f)(x)=\dfrac{2x+1}{3(x+1)}-1=\dfrac{2x+1-3(x+1)}{3(x+1)}.
Faço a conta no numerador:
2x+1-3(x+1)=2x+1-3x-3=-x-2=-(x+2).
Logo
(g\circ f)(x)=-\dfrac{x+2}{3(x+1)}.
Restrições de domínio para (g\circ f)(x):
  • f(x) exige x\neq1.
  • Também é preciso que 2f(x)-1\neq0 (denominador de g). Já encontramos 2f(x)-1=\dfrac{3(x+1)}{x-1}; isso é zero quando 3(x+1)=0, ou seja x=-1. Então x\neq-1.
    Portanto o domínio de (g\circ f)(x) exclui x=1 e x=-1.

Passo 6

Verificação rápida com um valor numérico para ganhar confiança (checagem):
  • Tomo x=0 (que não está nas restrições).
    • g(0)=\dfrac{0}{-1}-1=-1. Então f(g(0))=f(-1)=\dfrac{-2+1}{-1-1}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}.
    • Pela fórmula obtida (f\circ g)(0)=\dfrac{1}{2-3\cdot 0}=\dfrac{1}{2}. Confere.
    • f(0)=\dfrac{1}{-1}=-1. Então g(f(0))=g(-1)=\dfrac{-1}{-3}-1=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}.
    • Pela fórmula (g\circ f)(0)=-\dfrac{0+2}{3(0+1)}=-\dfrac{2}{3}. Confere.
As expressões e restrições estão consistentes com a checagem.

Resposta

\displaystyle (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{2-3x},\quad x\neq\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\n
\displaystyle (g\circ f)(x)=-\dfrac{x+2}{3(x+1)},\quad x\neq1,-1

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