Dados os pontos A(-1,2) e B(3,0). Determine C tal que \overrightarrow{A C} seja paralelo ao vetor u=(2,1) e \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|.
Resposta: C(3,4) ou C(-5,0)

Passo 1

Resumindo: temos os pontos A(-1,2) e B(3,0). Queremos um ponto C tal que o vetor \overrightarrow{AC} seja paralelo ao vetor u=(2,1) e tenha o mesmo comprimento de \overrightarrow{AB}. O conteúdo é geometria vetorial: iremos calcular \overrightarrow{AB}, sua norma, impor \overrightarrow{AC}=t\,u e achar t de modo que \|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{AB}\|.

Passo 2

Calculemos o vetor \overrightarrow{AB} e sua norma:
\overrightarrow{AB} = (3 - (-1),\,0 - 2) = (4,\,-2),
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 3

Como \overrightarrow{AC} deve ser paralelo a u=(2,1), escrevemos
\overrightarrow{AC} = t\,(2,1).
A norma desse vetor é
\|\overrightarrow{AC}\| = |t|\;\sqrt{2^2 + 1^2} = |t|\;\sqrt{5}.
Queremos \|\overrightarrow{AC}\| = \|\overrightarrow{AB}\| = 2\sqrt{5}, daí
|t|\;\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad |t| = 2.

Passo 4

Temos duas soluções para t: t=2 ou t=-2. Então
C = A + \overrightarrow{AC} = (-1,2) + t\,(2,1).
Para t=2:
C = (-1,2) + 2\,(2,1) = (-1+4,\,2+2) = (3,4).
Para t=-2:
C = (-1,2) - 2\,(2,1) = (-1-4,\,2-2) = (-5,0).

Resposta

As soluções são C(3,4) ou C(-5,0).

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