Dados os vetores u=(3,-1) e v=(2,1) determine o(\mathrm{~s}) valor(es) do número real a, tal que \|v-a \cdot u\|=\sqrt{5} \cdot \cot \theta, onde \theta é o ângulo entre u e v.
Resposta: a=0 ou a=1

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,-1) e v=(2,1) e pede os valores de a\in\mathbb{R} tais que
\|\,v - a\,u\| = \sqrt{5}\,\cot\theta,
onde \theta é o ângulo formado entre u e v. Para resolver precisamos calcular \cot\theta em função de produto escalar e “produto vetorial” em \mathbb{R}^2, depois igualar à norma de v-au e resolver para a.

Passo 2

Em \mathbb{R}^2 temos
u\cdot v = 3\cdot2 + (-1)\cdot1 = 6 - 1 = 5,
e o “produto vetorial” (determinante)
u_1v_2 - u_2v_1 = 3\cdot1 - (-1)\cdot2 = 3 + 2 = 5.
Como \cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} e \sin\theta = \frac{|u_1v_2 - u_2v_1|}{\|u\|\|v\|}, segue
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{u\cdot v}{|u_1v_2 - u_2v_1|} = \frac{5}{5} = 1.
Logo o lado direito da equação vira \sqrt{5}\cdot1 = \sqrt{5}.

Passo 3

A condição fica
\|\,v - a\,u\| = \sqrt{5} \quad\Longleftrightarrow\quad \|\,v - a\,u\|^2 = 5.
Como v - a\,u = (2-3a,\;1+a), temos
\|\,v - a\,u\|^2 = (2-3a)^2 + (1+a)^2.

Passo 4

Calculando:
(2-3a)^2 + (1+a)^2 = (4 -12a +9a^2) + (1 +2a +a^2) =10a^2 -10a +5.
Igualando a 5:
10a^2 -10a +5 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 10a^2 -10a = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 10a(a-1)=0.
Portanto a=0 ou a=1.

Resposta

a=0 ou a=1

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