Seja u=(3,4). Determine as coordenadas de um vetor v, de módulo 2 , e que faz com u um ângulo de 60^{\circ}. Resposta: \left(2,-\frac{1}{4}\right) ou aproximadamente (-0,8 ; 1,85)

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{u}=(3,4) e pede um vetor \mathbf{v}=(x,y) tais que \|\mathbf{v}\|=2 e o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} seja 60^\circ. Para resolver precisamos usar a definição de produto escalar em termos de ângulo e a fórmula da norma de um vetor.

Passo 2

Pelo produto escalar temos
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3x+4y=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos60^\circ.
Como \|\mathbf{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=5, \|\mathbf{v}\|=2 e \cos60^\circ=\tfrac12, resulta
3x+4y = 5\cdot 2\cdot \tfrac12 = 5.
Além disso, da norma de \mathbf{v} vem
x^2 + y^2 = 2^2 = 4.

Passo 3

Da equação 3x+4y=5 isolamos y:
y = \frac{5-3x}{4}.
Substituímos em x^2+y^2=4:
x^2 + \biggl(\frac{5-3x}{4}\biggr)^2 = 4.

Passo 4

Expandindo e multiplicando por 16 obtemos
16x^2 + (5-3x)^2 = 64 \;\Longrightarrow\; 16x^2 + 25 -30x +9x^2 = 64 \;\Longrightarrow\; 25x^2 -30x -39 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 -4\cdot25\cdot(-39)}}{2\cdot25} = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 3900}}{50} = \frac{30 \pm \sqrt{4800}}{50} = \frac{30 \pm 20\sqrt3}{50} = \frac{6 \pm 4\sqrt3}{10}.

Passo 5

Para cada valor de x achamos y=(5-3x)/4:
  1. Se x=\tfrac{6+4\sqrt3}{10} então
y = \frac{5 - 3\frac{6+4\sqrt3}{10}}{4} = \frac{8 -6\sqrt3}{10}.
  1. Se x=\tfrac{6-4\sqrt3}{10} então
y = \frac{5 - 3\frac{6-4\sqrt3}{10}}{4} = \frac{8 +6\sqrt3}{10}.

Resposta

As coordenadas de \mathbf{v} são
\mathbf{v}_1 = \Bigl(\tfrac{6+4\sqrt3}{10},\,\tfrac{8-6\sqrt3}{10}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v}_2 = \Bigl(\tfrac{6-4\sqrt3}{10},\,\tfrac{8+6\sqrt3}{10}\Bigr).
Numericamente, isso dá aproximadamente
\mathbf{v}_1\approx(2,\,-0{,}25) \quad\text{ou}\quad \mathbf{v}_2\approx(-0{,}8,\;1{,}85).

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