Se u, v e w são vetores do plano, tais que u=2 v+w,\|u\|=4,\|v\|=4 \mathrm{e} \|w\|=2, determine \|u+v\|.
Resposta: \|u+v\|=\sqrt{70}

Passo 1

O enunciado dá três vetores do plano \,u,v,w tais que
u = 2v + w,
e as normas \|u\|=4,\;\|v\|=4,\;\|w\|=2.
O conteúdo aqui é o uso da relação entre norma e produto interno:
\|a - b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 - 2\,a\cdot b,
e
\|a + b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 + 2\,a\cdot b.
Para achar \|u+v\|, vamos primeiro obter u\cdot v.

Passo 2

Da relação u = 2v + w isolamos
w = u - 2v.
Como \|w\|=2, temos
\|w\|^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \|u - 2v\|^2 = 4.
Expandindo pelo produto interno:
\|u - 2v\|^2 = \|u\|^2 + 4\|v\|^2 - 4\,(u\cdot v).
Substituindo \|u\|^2=16 e \|v\|^2=16:
16 + 4\cdot16 - 4\,(u\cdot v) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 80 - 4\,(u\cdot v) = 4 \quad\Longrightarrow\quad u\cdot v = 19.

Passo 3

Agora usamos
\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 + 2\,(u\cdot v).
Substituindo \|u\|^2=16, \|v\|^2=16 e u\cdot v=19:
\|u+v\|^2 = 16 + 16 + 2\cdot19 = 32 + 38 = 70.

Passo 4

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\|u+v\| = \sqrt{70}.

Resposta

\|u+v\| = \sqrt{70}

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