Dados os pontos A(1,-2) e B(-2,3) determine:
(A) a equação geral, reduzida e segmentária da reta que passa pelo ponto A e B;
(B) determine as interseções da reta com os eixos coordenados;
© o coeficiente angular e o coeficiente linear e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente trabalhar com dois pontos no plano cartesiano, e . O conteúdo principal aqui é a equação da reta, que nos ajuda a descrever uma linha que passa por esses dois pontos. Para resolver, vamos precisar calcular a inclinação da reta (também conhecida como coeficiente angular) e usar isso para encontrar diferentes formas da equação dessa reta. Também vamos descobrir onde essa reta corta os eixos coordenados e esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos m = yB - yAxB - xA e m = 3 - (-2)-2 - 1 = 5-3 = -53 . O coeficiente angular ( ) representa a inclinação da reta e é calculado pela fórmula:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular é .

Passo 3

Com o coeficiente angular em mãos, podemos usar a forma reduzida da equação da reta, que é:
y = mx + b
Aqui, -2 = -53(1) + b -2 = -53 + b b = -2 + 53 = -63 + 53 = -13 é o coeficiente linear, que representa o ponto onde a reta corta o eixo y = -53x - 13 . Para encontrar , vamos usar um dos pontos dados. Vamos usar o ponto :
Então, o coeficiente linear é .
Agora, a forma reduzida da equação da reta é:

Passo 4

Vamos transformar essa equação para a forma geral da reta, que é:
Ax + By + C = 0
Começando com a forma reduzida que encontramos:
y = -53x - 13
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
3y = -5x - 1
Rearranjando os termos para deixar na forma geral:
5x + 3y + 1 = 0
Então, a forma geral da equação da reta é:
5x + 3y + 1 = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a forma segmentária da reta. A forma segmentária é escrita como:
xa + yb = 1
Para isso, precisamos encontrar os interceptos 0 = -53x - 13 53x = -13 x = -13 div 53 = -15 e x-15 + y-13 = 1 -5x - 3y = 1 com os eixos x-15 + y-13 = 1 e , respectivamente.
Vamos encontrar primeiro o intercepto com o eixo (quando ) usando a forma reduzida:
Então, o intercepto com o eixo é .
Agora, o intercepto com o eixo (quando ) é simplesmente .
Assim, a forma segmentária da equação da reta é:
Mas geralmente mantemos os interceptos positivos na forma segmentária, então podemos reescrever como:

Passo 6

Agora que temos as diferentes formas da equação da reta, vamos resumir:
  • Forma geral:
  • Forma reduzida:
  • Forma segmentária: ou reescrita com interceptos positivos:

Passo 7

Vamos agora determinar as interseções da reta com os eixos coordenados.
  1. Interseção com o eixo :
    Já encontramos que quando , . Então, o ponto de interseção é .
  2. Interseção com o eixo :
    Também já vimos que quando , . Então, o ponto de interseção é .

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico da reta usando os pontos que temos:
  • Ponto
  • Ponto
  • Intercepto com :
  • Intercepto com :
Com esses pontos, podemos desenhar uma linha que passa por eles, representando a reta encontrada.

Resposta

(A)
  • Forma geral:
  • Forma reduzida:
  • Forma segmentária:
(B)
  • Interseção com o eixo :
  • Interseção com o eixo :
©
  • Coeficiente angular:
  • Coeficiente linear:
  • Gráfico: Esboçado com os pontos , , e os interceptos e .

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