Dados os pontos
e
determine:
(A) a equação geral, reduzida e segmentária da reta que passa pelo ponto
e
;
(B) determine as interseções da reta com os eixos coordenados;
© o coeficiente angular e o coeficiente linear e esboce o gráfico.
(A) a equação geral, reduzida e segmentária da reta que passa pelo ponto
(B) determine as interseções da reta com os eixos coordenados;
© o coeficiente angular e o coeficiente linear e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente trabalhar com dois pontos no plano cartesiano,
e
. O conteúdo principal aqui é a equação da reta, que nos ajuda a descrever uma linha que passa por esses dois pontos. Para resolver, vamos precisar calcular a inclinação da reta (também conhecida como coeficiente angular) e usar isso para encontrar diferentes formas da equação dessa reta. Também vamos descobrir onde essa reta corta os eixos coordenados e esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
e
. O coeficiente angular (
) representa a inclinação da reta e é calculado pela fórmula:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular é
.
Passo 3
Com o coeficiente angular em mãos, podemos usar a forma reduzida da equação da reta, que é:
Aqui,
é o coeficiente linear, que representa o ponto onde a reta corta o eixo
. Para encontrar
, vamos usar um dos pontos dados. Vamos usar o ponto
:
Então, o coeficiente linear é
.
Agora, a forma reduzida da equação da reta é:
Passo 4
Vamos transformar essa equação para a forma geral da reta, que é:
Começando com a forma reduzida que encontramos:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos para deixar na forma geral:
Então, a forma geral da equação da reta é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a forma segmentária da reta. A forma segmentária é escrita como:
Para isso, precisamos encontrar os interceptos
e
com os eixos
e
, respectivamente.
Vamos encontrar primeiro o intercepto com o eixo
(quando
) usando a forma reduzida:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Agora, o intercepto com o eixo
(quando
) é simplesmente
.
Assim, a forma segmentária da equação da reta é:
Mas geralmente mantemos os interceptos positivos na forma segmentária, então podemos reescrever como:
Passo 6
Agora que temos as diferentes formas da equação da reta, vamos resumir:
- Forma geral:
- Forma reduzida:
- Forma segmentária:
ou reescrita com interceptos positivos:
Passo 7
Vamos agora determinar as interseções da reta com os eixos coordenados.
-
Interseção com o eixo
:
Já encontramos que quando, . Então, o ponto de interseção é . -
Interseção com o eixo
:
Também já vimos que quando, . Então, o ponto de interseção é .
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da reta usando os pontos que temos:
- Ponto
- Ponto
- Intercepto com
: - Intercepto com
:
Com esses pontos, podemos desenhar uma linha que passa por eles, representando a reta encontrada.
Resposta
(A)
- Forma geral:
- Forma reduzida:
- Forma segmentária:
(B)
- Interseção com o eixo
: - Interseção com o eixo
:
©
- Coeficiente angular:
- Coeficiente linear:
- Gráfico: Esboçado com os pontos
, , e os interceptos e .