Os gráficos de y=x+2 e x+y=6 definem, com os eixos coordenados, no primeiro quadrante um Quadrilátero. Calcule a área deste quadrilátero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os gráficos das retas e , junto com os eixos coordenados, que formam um quadrilátero no primeiro quadrante. Nosso objetivo aqui é calcular a área desse quadrilátero. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção dessas retas com os eixos e entre si, e depois usar esses pontos para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde cada reta intercepta os eixos coordenados.
Para a reta :
  • Interseção com o eixo y: Quando , . Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo x: Quando , ou . Mas como estamos no primeiro quadrante, onde e são positivos, essa interseção não faz parte do nosso quadrilátero.
Para a reta :
  • Interseção com o eixo y: Quando , . Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo x: Quando , . Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto onde as duas retas se cruzam, ou seja, resolver o sistema de equações:
y = x + 2 x + y = 6
Substituindo x + (x + 2) = 6 2x + 2 = 6 2x = 4 x = 2 da primeira equação na segunda:
y = 2 + 2 = 4
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Com todos os pontos determinados, nosso quadrilátero no primeiro quadrante tem os seguintes vértices:
  • — interseção da reta com o eixo y.
  • — interseção da reta com o eixo y.
  • — interseção da reta com o eixo x.
  • — ponto onde as duas retas se cruzam.

Passo 5

Para calcular a área desse quadrilátero, podemos dividir ele em dois triângulos e somar as áreas.
Primeiro Triângulo:
Vértices em Área1 = 12 times base times a, Área2 = 12 |(0 times 0 + 6 times 4 + 2 times 6) - (6 times 6 + 0 times 2 + 4 times 0)| = 12 |(0 + 24 + 12) - (36 + 0 + 0)| = 12 |36 - 36| = 0 e .
A base pode ser a distância entre e , que é .
A altura é a distância horizontal do ponto até o eixo y, que é .
Área do primeiro triângulo:
Á
Segundo Triângulo:
Vértices em , e .
Podemos usar a fórmula da área pelo determinante (Fórmula de Shoelace):
Á
Mas isso não faz sentido, então vamos calcular de outra maneira.
Vamos considerar a base como a distância entre e . A base é a mesma usada anteriormente. Já que os pontos formam um retângulo, podemos simplificar considerando a área total diretamente.

Passo 6

Na verdade, uma forma mais simples é usar a Fórmula de Shoelace para todo o quadrilátero. Vamos listar os pontos em ordem:
(0, 2), (0, 6), (6, 0), (2, 4), (0, 2)
Aplicando a Fórmula de Shoelace:
Área = 12 |(0 times 6 + 0 times 0 + 6 times 4 + 2 times 2) - (2 times 0 + 6 times 6 + 0 times 2 + 4 times 0)| Á
= 12 |(0 + 0 + 24 + 4) - (0 + 36 + 0 + 0)|
= 12 |28 - 36|
= 12 times 8 = 4

Resposta

A área do quadrilátero é unidades de área.

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