Os gráficos de
e
definem, com os eixos coordenados, no primeiro quadrante um Quadrilátero. Calcule a área deste quadrilátero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os gráficos das retas
e
, junto com os eixos coordenados, que formam um quadrilátero no primeiro quadrante. Nosso objetivo aqui é calcular a área desse quadrilátero. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção dessas retas com os eixos e entre si, e depois usar esses pontos para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde cada reta intercepta os eixos coordenados.
Para a reta
:
- Interseção com o eixo y: Quando
, . Então, o ponto de interseção é . - Interseção com o eixo x: Quando
, ou . Mas como estamos no primeiro quadrante, onde e são positivos, essa interseção não faz parte do nosso quadrilátero.
Para a reta
:
- Interseção com o eixo y: Quando
, . Então, o ponto de interseção é . - Interseção com o eixo x: Quando
, . Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto onde as duas retas se cruzam, ou seja, resolver o sistema de equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Com todos os pontos determinados, nosso quadrilátero no primeiro quadrante tem os seguintes vértices:
-
— interseção da reta com o eixo y. -
— interseção da reta com o eixo y. -
— interseção da reta com o eixo x. -
— ponto onde as duas retas se cruzam.
Passo 5
Para calcular a área desse quadrilátero, podemos dividir ele em dois triângulos e somar as áreas.
Primeiro Triângulo:
Vértices em
,
e
.
A base pode ser a distância entre
e
, que é
.
A altura é a distância horizontal do ponto
até o eixo y, que é
.
Área do primeiro triângulo:
Segundo Triângulo:
Vértices em
,
e
.
Podemos usar a fórmula da área pelo determinante (Fórmula de Shoelace):
Mas isso não faz sentido, então vamos calcular de outra maneira.
Vamos considerar a base como a distância entre
e
. A base é a mesma usada anteriormente. Já que os pontos formam um retângulo, podemos simplificar considerando a área total diretamente.
Passo 6
Na verdade, uma forma mais simples é usar a Fórmula de Shoelace para todo o quadrilátero. Vamos listar os pontos em ordem:
Aplicando a Fórmula de Shoelace:
Resposta
A área do quadrilátero é
unidades de área.