Sabendo-se que os pontos de uma quádrica são equidistantes do plano
e do ponto
, determine a equação da quádrica e faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de geometria envolvendo uma quádrica. A pergunta é: encontrar a equação dessa quádrica que tem todos os seus pontos igualmente distantes de um plano específico,
, e de um ponto fixo,
. Para resolver isso, vamos precisar entender distâncias no espaço tridimensional e como elas se relacionam para formar uma quádrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer
até o plano
. A fórmula geral para a distância de um ponto
a um plano
é:
No nosso caso, o plano é
, que podemos reescrever como
. Então, a distância fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até o ponto fixo
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Passo 4
Como todos os pontos da nossa quádrica estão equidistantes do plano
e do ponto
, vamos igualar as duas distâncias:
Como a distância é sempre positiva, podemos eliminar o valor absoluto:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo os quadrados:
Passo 6
Vamos simplificar a equação cancelando
dos dois lados:
Agora, vamos trazer todos os termos com
para um lado e os termos restantes para o outro:
Passo 7
Rearranjando a equação para ficar mais clara:
Podemos também escrever de forma a destacar o deslocamento:
Isso mostra que a parábola está deslocada em relação à origem.
Resposta
A equação da quádrica é:
Graficamente, isso representa um paraboloide que abre na direção negativa do eixo
, com o vértice localizado no ponto
. O esboço seria uma forma arredondada que se estende para a esquerda no eixo
, mantendo simetria nos eixos
e
.