Sabendo-se que os pontos de uma quádrica são equidistantes do plano pi: x=3 e do ponto A=(-4,0,0), determine a equação da quádrica e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria envolvendo uma quádrica. A pergunta é: encontrar a equação dessa quádrica que tem todos os seus pontos igualmente distantes de um plano específico, pi: x=3, e de um ponto fixo, A=(-4,0,0). Para resolver isso, vamos precisar entender distâncias no espaço tridimensional e como elas se relacionam para formar uma quádrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer (x, y, z) até o plano pi: x=3. A fórmula geral para a distância de um ponto (x, y, z) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
Distância = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 â
No nosso caso, o plano é x=3, que podemos reescrever como 1cdot x + 0cdot y + 0cdot z -3 = 0. Então, a distância fica:
Distância ao plano pi: |x - 3|raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = |x - 3| â

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto (x, y, z) até o ponto fixo A=(-4,0,0). A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Distância = raiz(x + 4)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = raiz(x + 4)^2 + y^2 + z^2 â

Passo 4

Como todos os pontos da nossa quádrica estão equidistantes do plano pi e do ponto A, vamos igualar as duas distâncias:
|x - 3| = raiz(x + 4)^2 + y^2 + z^2
Como a distância é sempre positiva, podemos eliminar o valor absoluto:
x - 3 = raiz(x + 4)^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 3)^2 = (x + 4)^2 + y^2 + z^2
Expandindo os quadrados:
x^2 - 6x + 9 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2

Passo 6

Vamos simplificar a equação cancelando x^2 dos dois lados:
-6x + 9 = 8x + 16 + y^2 + z^2
Agora, vamos trazer todos os termos com x para um lado e os termos restantes para o outro:
-14x - 7 = y^2 + z^2

Passo 7

Rearranjando a equação para ficar mais clara:
y^2 + z^2 = -14x - 7
Podemos também escrever de forma a destacar o deslocamento:
y^2 + z^2 = -14(x + 12)
Isso mostra que a parábola está deslocada em relação à origem.

Resposta

A equação da quádrica é:
y^2 + z^2 = -14x - 7
Graficamente, isso representa um paraboloide que abre na direção negativa do eixo x, com o vértice localizado no ponto (-0,5, 0, 0). O esboço seria uma forma arredondada que se estende para a esquerda no eixo x, mantendo simetria nos eixos y e z.

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