Determine a equação da quádrica tal que para todo ponto P=(x, y, z) na quádrica, a soma das distâncias de P aos pontos (0,-3,0) e (0,3,0) seja igual a 8 . Em seguida, faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de uma quadrica onde, para qualquer ponto na quadrica, a soma das distâncias de aos pontos e é igual a 8. Isso envolve geometria espacial e a noção de quadricas. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço e entender como somar essas distâncias para formar a equação da quadrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A distância d = raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2 entre e é dada pela fórmula:
Aqui, temos dois pontos fixos: e .

Passo 3

Vamos chamar a distância de dA = raiz(x - 0)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 0)^2 = raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 até dB = raiz(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 de e até de . Então:

Passo 4

De acordo com o enunciado, a soma dessas distâncias é igual a 8:
dA + dB = 8
Substituindo as expressões que encontramos:
raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 + raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 8

Passo 5

Essa equação define uma quadrica especial chamada de cilindro elíptico duplo, mas para simplificar, vamos manipular a equação para encontrar uma forma mais familiar. Para isso, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes.
Primeiro, isolemos uma das raízes:
raizx^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 8 - raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = (8 - raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2)^2

Passo 6

Vamos expandir o lado direito:
x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 64 - 16raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 + x^2 + (y - 3)^2 + z^2
Simplificando ambos os lados:
(y + 3)^2 = 64 - 16raizx^2 + (y - 3)^2 + z^2 + (y - 3)^2

Passo 7

Vamos expandir os quadrados:
y^2 + 6y + 9 = 64 - 16raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 + y^2 - 6y + 9
Simplificando:
6y + 9 = 64 - 16raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 6y + 9
12y = 64 - 16raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2

Passo 8

Isolando a raiz:
16raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = 64 - 12y
Dividindo ambos os lados por 16:
raizx^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = 64 - 12y16 = 4 - 3y4

Passo 9

Elevando novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = (4 - 3y4)^2
Expandindo o lado direito:
x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = 16 - 6y + 9y^216

Passo 10

Vamos reunir todos os termos no lado esquerdo:
x^2 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 16 + 6y - 9y^216 = 0
Simplificando:
x^2 + z^2 - 7 + y^2 - 9y^216 = 0
x^2 + z^2 + y^2(1 - 916) - 7 = 0
x^2 + z^2 + 7y^216 = 7

Passo 11

Dividindo todos os termos por 7 para simplificar:
x^27 + z^27 + y^216 = 1
Essa é a equação padrão de uma elipsoide.

Resposta

A equação da quadrica é:
x^27 + z^27 + y^216 = 1

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