Determine a equação da quádrica tal que para todo ponto
na quádrica, a soma das distâncias de
aos pontos
e
seja igual a 8 . Em seguida, faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de uma quadrica onde, para qualquer ponto
na quadrica, a soma das distâncias de
aos pontos
e
é igual a 8. Isso envolve geometria espacial e a noção de quadricas. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço e entender como somar essas distâncias para formar a equação da quadrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A distância
entre
e
é dada pela fórmula:
Aqui, temos dois pontos fixos:
e
.
Passo 3
Vamos chamar a distância de
até
de
e até
de
. Então:
Passo 4
De acordo com o enunciado, a soma dessas distâncias é igual a 8:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Essa equação define uma quadrica especial chamada de cilindro elíptico duplo, mas para simplificar, vamos manipular a equação para encontrar uma forma mais familiar. Para isso, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes.
Primeiro, isolemos uma das raízes:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito:
Simplificando ambos os lados:
Passo 7
Vamos expandir os quadrados:
Simplificando:
Passo 8
Isolando a raiz:
Dividindo ambos os lados por 16:
Passo 9
Elevando novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Passo 10
Vamos reunir todos os termos no lado esquerdo:
Simplificando:
Passo 11
Dividindo todos os termos por 7 para simplificar:
Essa é a equação padrão de uma elipsoide.
Resposta
A equação da quadrica é: