Dados os pontos A(-2,5,3) e B(-5,4,1), determine:
a) a equação vetorial da reta r_{A B}.
b) as equações paramétricas da reta r_{A B}.
c) verifique se os pontos P(4,7,-7) e Q(-8,3,1) pertencem a esta reta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta que passa por A(-2,5,3) e B(-5,4,1) em espaço tridimensional, usando equação vetorial e equações paramétricas, e depois verificar se os pontos P(4,7,-7) e Q(-8,3,1) pertencem a essa reta. O conteúdo usado será vetores posição, vetor diretor e parametrização de reta.

Passo 2

Para obter o vetor diretor da reta, calculamos
\vec{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (-5,4,1) - (-2,5,3) = (-5+2,\;4-5,\;1-3) = (-3,\,-1,\,-2).

Passo 3

A equação vetorial da reta r_{AB} pode ser escrita como
\vec r = \vec r_0 + t\,\vec d,
onde \vec r_0 é o vetor posição de um ponto da reta (escolhemos A) e \vec d é o vetor diretor \vec{AB}. Assim,
\vec r = (-2,5,3) + t\,(-3,-1,-2),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Das componentes da equação vetorial lemos as equações paramétricas:
\begin{cases} x = -2 - 3t,\\\ y = 5 - t,\\\ z = 3 - 2t. \end{cases}

Passo 5

Para verificar se P(4,7,-7) pertence à reta, igualamos
-2 - 3t = 4 \;\Longrightarrow\; -3t = 6 \;\Longrightarrow\; t = -2.
Com esse t,
y = 5 -(-2)=7\quad(\checkmark), \quad z = 3 - 2(-2)=7\neq -7.
Logo, P não satisfaz a coordenada z, então P\notin r_{AB}.

Passo 6

Para verificar Q(-8,3,1), igualamos
-2 - 3t = -8 \;\Longrightarrow\; -3t = -6 \;\Longrightarrow\; t = 2.
Com t=2,
y = 5 - 2 = 3\quad(\checkmark), \quad z = 3 - 2\cdot2 = -1\neq 1.
Assim, Q também não satisfaz a coordenada z, logo Q\notin r_{AB}.

Resposta

a) \displaystyle \vec r = (-2,5,3) + t\,(-3,-1,-2),\;t\in\mathbb{R}.
b) \displaystyle x = -2 - 3t,\quad y = 5 - t,\quad z = 3 - 2t,\;t\in\mathbb{R}.
c) Nem P(4,7,-7) nem Q(-8,3,1) pertencem a r_{AB}.

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