Mostre que se
, com
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
, e pede para mostrar que
Como
e
, basta provar que
pois, por CRT (Teorema Chinês dos Resto), isso implica
.
Passo 2
Provar
.
Como ,
é ímpar, logo
para algum
. Então
Como
Como
é par,
é múltiplo de
, e portanto
Elevando ao cubo,
Passo 3
Provar
.
Como , pelo Pequeno Teorema de Fermat temos
Como
Logo
Passo 4
Provar
.
Como , pelo Pequeno Teorema de Fermat
Como
Passo 5
Pelos passos anteriores temos
Pelo Teorema Chinês dos Resto, segue
ou seja,
Resposta
Como mostrado,
.