Mostre que se (a, 42)=1, com a \in \mathbb{Z}, então (3 \times 7 \times 8) \mid\left(a^{6}-1\right).

Passo 1

O enunciado diz que a\in\mathbb{Z} e \gcd(a,42)=1, e pede para mostrar que
(3\times7\times8)\mid\bigl(a^6-1\bigr).
Como 3\cdot7\cdot8=168 e \gcd(a,168)=1, basta provar que
a^6\equiv1\pmod{8},\quad a^6\equiv1\pmod{3},\quad a^6\equiv1\pmod{7},
pois, por CRT (Teorema Chinês dos Resto), isso implica \;a^6\equiv1\pmod{168}.

Passo 2

Provar a^6\equiv1\pmod{8}.
Como \gcd(a,8)=1, a é ímpar, logo a=2k+1 para algum k. Então
a^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1.
Como k(k+1) é par, 4k(k+1) é múltiplo de 8, e portanto
a^2\equiv1\pmod{8}.
Elevando ao cubo,
a^6=(a^2)^3\equiv1^3=1\pmod{8}.

Passo 3

Provar a^6\equiv1\pmod{3}.
Como \gcd(a,3)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat temos
a^2\equiv1\pmod{3}.
Logo
a^6=(a^2)^3\equiv1^3=1\pmod{3}.

Passo 4

Provar a^6\equiv1\pmod{7}.
Como \gcd(a,7)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat
a^6\equiv1\pmod{7}.

Passo 5

Pelos passos anteriores temos
a^6\equiv1\pmod{8},\quad a^6\equiv1\pmod{3},\quad a^6\equiv1\pmod{7}.
Pelo Teorema Chinês dos Resto, segue
a^6\equiv1\pmod{3\cdot7\cdot8},
ou seja,
168\mid\bigl(a^6-1\bigr).

Resposta

Como mostrado, (3\times7\times8)\mid\bigl(a^6-1\bigr).

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