Dê a posição relativa dos planos \pi_{1}: 5 x+3 y+13 z-1=0 e \pi_{2}: 3 x+8 y-3 z+8=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois planos em \mathbb{R}^3,
\pi_{1}:5x+3y+13z-1=0
e
\pi_{2}:3x+8y-3z+8=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e para decidir a posição relativa de dois planos basta comparar seus vetores normais.

Passo 2

Os vetores normais são
\vec n_{1}=(5,3,13),
\vec n_{2}=(3,8,-3).
Se os planos fossem paralelos (ou coincidentes) seus vetores normais seriam proporcionais, ou seja, existiria k tal que \vec n_{1}=k\,\vec n_{2}. Mas não há k\in\mathbb{R} que satisfaça
(5,3,13)=k\,(3,8,-3)
porque 5/3\neq 3/8 nem 5/3\neq 13/(-3). Logo, \vec n_{1} e \vec n_{2} não são colineares.

Passo 3

Como os vetores normais não são proporcionais, os planos não são paralelos nem coincidentes. A consequência é que eles se intersectam ao longo de uma reta.

Resposta

Os planos \pi_{1} e \pi_{2} são secantes, intersectando-se segundo uma reta.

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