5 Seja \pi o plano definido pelos vetores diretores \vec{u}=(2,-1,3) e v=(1,4,-2) e contendo o ponto P(-3,5,1). Determine:
a) as equações do plano \pi;
b) verifique se os pontos P(-4,19,-11) e R(2,-1,9) pertencem ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá um plano \pi definido pelos vetores diretores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,4,-2) e que passa pelo ponto P=(-3,5,1). Precisamos achar (a) as equações do plano — tanto a forma paramétrica quanto a forma cartesiana — e (b) verificar se os pontos P=(-4,19,-11) e R=(2,-1,9) satisfazem a equação cartesiana do plano.

Passo 2

Para obter a forma cartesiana precisamos primeiro o vetor normal \vec{n} ao plano, dado pelo produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Calculando:
\vec{n} =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-1&3\\\\ 1&4&-2 \end{pmatrix} =-10\,\mathbf{i}+7\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k},
logo \vec{n}=(-10,7,9).

Passo 3

A equação paramétrica do plano usa dois parâmetros s,t e o ponto P:
\begin{cases} x=-3+2s+1t,\\\ y=5-1s+4t,\\\ z=1+3s-2t. \end{cases}

Passo 4

A forma cartesiana vem de \vec{n}\cdot[(x,y,z)-P]=0. Escrevendo:
-10\,(x+3)+7\,(y-5)+9\,(z-1)=0
e distribuindo:
-10x-30+7y-35+9z-9=0
\Longrightarrow -10x+7y+9z-74=0.

Passo 5

Para o ponto P=(-4,19,-11) plugamos na forma cartesiana:
-10[(-4)+3]+7[19-5]+9[(-11)-1] =10+98-108=0.
Como o resultado é zero, P pertence a \pi.

Passo 6

Para o ponto R=(2,-1,9) calculamos:
-10[(2)+3]+7[(-1)-5]+9[(9)-1] =-50-42+72=-20\neq0.
Logo R não pertence a \pi.

Resposta

(a) Equações do plano \pi\): Paramétrica: \[\begin{cases} x=-3+2s+t,\\\ y=5-s+4t,\\\ z=1+3s-2t. \end{cases}
Cartesiana:
-10x+7y+9z-74=0.
(b) O ponto P=(-4,19,-11)\] pertence ao plano \(\pi, e o ponto R=(2,-1,9) não pertence.

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