Dados os pontos A=(5,-2,3), B=(7,1,5), por meio da distância entre pontos, encontrar o lugar geométrico dos pontos P=(x, y, z) equidistantes de A, B.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) tais que PA=PB, onde
A=(5,-2,3), B=(7,1,5)
O conteúdo é usar a fórmula da distância no espaço e notar que o locus será o plano mediador perpendicular ao segmento AB.

Passo 2

Colocamos a condição de equidistância elevando ao quadrado as distâncias PA e PB:
(x-5)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 ;=;(x-7)^2+(y-1)^2+(z-5)^2

Passo 3

Expandindo cada lado e cancelando os termos x^2, y^2, z^2, temos
l(-10x+25r)+(4y+4)+(-6z+9);=;l(-14x+49r)+(-2y+1)+(-10z+25)
Reagrupando tudo do lado esquerdo obtém-se
4x+6y+4z-37=0

Passo 4

A equação 4x+6y+4z-37=0 é a de um plano cujo vetor normal é vec n=(4,6,4), que é paralelo a AB=(2,3,2). Esse plano passa pelo ponto médio
Ml(6,-tfrac12,4r)
de A e B. Dividindo a equação por 2 para simplificar, fica
2x+3y+2z=tfrac372

Resposta

O lugar geométrico é o plano mediador de AB, dado por
2x+3y+2z=tfrac372

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