Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(-2,-1), determinar:
d(A, B)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Ponto A(2,-2).
  • Ponto B(-1,4).
  • Vetores \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(-2,-1).
    A pergunta é: determinar d(A,B), ou seja, a distância entre os pontos A e B.

Passo 2

O que significa calcular d(A,B)? Geometricamente é a reta mais curta que liga A a B. Em coordenadas cartesianas, isso corresponde ao comprimento do vetor \overrightarrow{AB}, isto é, à norma euclidiana desse vetor.
A fórmula que usamos vem diretamente do Teorema de Pitágoras: se \overrightarrow{AB}=(\Delta x,\Delta y), então
d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
Aqui \Delta x é a diferença entre as coordenadas x de B e A, e \Delta y é a diferença entre as coordenadas y de B e A. Essa fórmula é básica e muito útil na prova: sempre que tiver dois pontos no plano, subtrai-se coordenada a coordenada, eleva-se ao quadrado, soma-se e tira-se a raiz quadrada.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas. Usamos \Delta x = x_B - x_A e \Delta y = y_B - y_A.
\Delta x = -1 - 2 = -3, \qquad \Delta y = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
Portanto \overrightarrow{AB}=(-3,6).

Passo 4

Aplicar a fórmula da norma (Teorema de Pitágoras):
d(A,B)=\sqrt{(-3)^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}.

Passo 5

Simplificar a raiz quadrada. Fatorando 45 em fatores primos: 45=9\cdot 5 e \sqrt{9}=3. Logo
\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida na prova, \sqrt{5}\approx 2,236 então 3\sqrt{5}\approx 6,708, mas a forma exata é preferível.

Resposta

3\sqrt{5}

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