Determinar vetores unitários que satisfaçam as condições dadas:
mesma direção e sentido que o vetor de A(-1,0,2) até B(3,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar vetores unitários que tenham a mesma direção e o mesmo sentido do vetor que vai do ponto A(-1,0,2) até o ponto B(3,1,1).
Informações dadas:
  • Coordenadas de A: (-1,0,2).
  • Coordenadas de B: (3,1,1).
  • Objetivo: encontrar o(s) vetor(es) unitário(s) com a mesma direção e sentido do vetor \overrightarrow{AB}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o vetor \overrightarrow{AB} subtraindo coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=B-A=(3-(-1),\;1-0,\;1-2).
Fazendo as contas:
\overrightarrow{AB}=(4,\;1,\;-1).

Passo 3

O que é um vetor unitário e como obtê-lo:
  • Um vetor unitário é um vetor com norma (módulo) igual a 1.
  • Para transformar um vetor qualquer \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) em um vetor unitário na mesma direção e sentido, divide-se \vec{v} pela sua norma:
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • A norma de \vec{v} em \mathbb{R}^3 é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2},
onde v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor.

Passo 4

Calcular a norma de \overrightarrow{AB}=(4,1,-1):
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{4^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}.
Simplificando \sqrt{18}:
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.

Passo 5

Agora normalizamos \overrightarrow{AB} dividindo cada componente por 3\sqrt{2}:
\hat{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}=\frac{(4,1,-1)}{3\sqrt{2}}=\left(\frac{4}{3\sqrt{2}},\;\frac{1}{3\sqrt{2}},\;-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Podemos racionalizar os denominadores (opcional, às vezes fica mais bonito):
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} em cada componente,
\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\qquad \frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6},\qquad -\frac{1}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}.
Assim uma forma equivalente é
\hat{u}=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3},\;\frac{\sqrt{2}}{6},\;-\frac{\sqrt{2}}{6}\right).

Passo 7

Verificação rápida de que o vetor encontrado é unitário (checar norma = 1):
Calcular a soma dos quadrados das componentes (usando a forma racionalizada):
\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)^2 =\frac{8}{9}+\frac{2}{36}+\frac{2}{36} =\frac{8}{9}+\frac{4}{36} =\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1.
Portanto a norma é 1, confirmação OK.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{4}{3\sqrt{2}},\;\frac{1}{3\sqrt{2}},\;-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)
ou, equivalentemente,
\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{2}}{3},\;\frac{\sqrt{2}}{6},\;-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)

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