Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(-2,-1), determinar:
|2 \vec{u}+3 \vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Ponto A(2,-2).
  • Ponto B(-1,4).
  • Vetor \vec{u}=(-1,3).
  • Vetor \vec{v}=(-2,-1).
A pergunta do enunciado é:
  • Determinar |2\vec{u}+3\vec{v}|.

Passo 2

Entendendo multiplicação por escalar (mini-aula): multiplicar um vetor por um número (escalares) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número. Se \vec{w}=(w_x,w_y) e c é um escalar, então
c\vec{w}=(c w_x,\, c w_y).
Aplicando isso aos dados:
  • Calcular 2\vec{u}. Como \vec{u}=(-1,3),
2\vec{u} = 2\cdot(-1,3) = (2\cdot(-1),\,2\cdot 3) = (-2,\,6).
  • Calcular 3\vec{v}. Como \vec{v}=(-2,-1),
3\vec{v} = 3\cdot(-2,-1) = (3\cdot(-2),\,3\cdot(-1)) = (-6,\,-3).

Passo 3

Entendendo adição de vetores (mini-aula): somar vetores é somar componente a componente. Se \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,\,a_y+b_y).
Somamos os vetores obtidos em Passo 2:
2\vec{u}+3\vec{v} = (-2,6) + (-6,-3) = (-2+(-6),\,6+(-3)) = (-8,\,3).

Passo 4

Entendendo módulo (norma) de um vetor no plano (mini-aula): para um vetor \vec{w}=(w_x,w_y) no plano, o módulo |\vec{w}| é a distância da origem até o ponto (w_x,w_y) e é dado por
|\vec{w}| = \sqrt{w_x^{2} + w_y^{2}}.
Aqui o vetor que nos interessa é \vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}=(-8,3). Calculamos o quadrado do módulo:
|\;2\vec{u}+3\vec{v}\;|^{2} = (-8)^{2} + 3^{2} = 64 + 9 = 73.
Como o módulo é a raiz quadrada do quadrado do módulo (e é sempre não negativo), segue que o módulo em si é a raiz quadrada desse valor.

Passo 5

Checagem alternativa (curtinha): usando produto escalar, para \vec{w}=(-8,3) vale |\vec{w}|^{2}=\vec{w}\cdot\vec{w}=(-8)(-8)+3\cdot3=64+9=73. Dá o mesmo resultado, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\sqrt{73}

Exercícios relacionados