Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(-2,-1), determinar:
|\vec{u}+\vec{v}|

Passo 1

O enunciado fornece os pontos e vetores e pede uma quantidade específica. Dados:
  • Ponto A(2,-2) (mesmo que não seja necessário para este item).
  • Ponto B(-1,4) (mesmo que não seja necessário para este item).
  • Vetor \vec{u}=(-1,3).
  • Vetor \vec{v}=(-2,-1).
O que o exercício pede:
  • Determinar |\vec{u}+\vec{v}|, ou seja, o comprimento (módulo) do vetor soma \vec{u}+\vec{v}.

Passo 2

Definição e cálculo da soma de vetores em coordenadas no plano: para dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y) a soma é feita componente a componente,
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
Aplicando aos valores dados:
\vec{u}=(-1,3),\qquad \vec{v}=(-2,-1),
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\vec{u}+\vec{v}=(-1+(-2),\;3+(-1)).

Passo 3

Continuando o cálculo das componentes:
\vec{u}+\vec{v}=(-3,\;2).
Aqui ficou claro que a soma é o vetor de componentes x=-3 e y=2. Uma interpretação geométrica rápida: soma vetorial desloca tipicamente a cauda de um sobre a cabeça do outro, mas em coordenadas basta somar componentes.

Passo 4

Definição do módulo (comprimento) de um vetor no plano: para \vec{w}=(w_x,w_y) vale a fórmula (Teorema de Pitágoras)
|\vec{w}|=\sqrt{w_x^2+w_y^2},
porque as componentes formam os catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é o comprimento do vetor. Exemplo simples: o vetor (3,4) tem módulo \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao vetor \vec{u}+\vec{v}=(-3,2):
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.

Resposta

\sqrt{13}

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