1. Qual o módulo do vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 5 e 12 unidades?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do vetor soma de dois vetores que são perpendiculares entre si. As informações dadas são:
  • Dois vetores são perpendiculares (formam ângulo reto entre si).
  • Os módulos (comprimentos) desses vetores são 5 e 12 unidades.
    O que se pede: encontrar o módulo do vetor soma desses dois vetores (ou seja, o comprimento do vetor resultante quando os dois são adicionados).

Passo 2

Ideia prática e por que ela funciona (sem jargões): quando dois vetores são perpendiculares, dá para escolher um sistema de coordenadas em que um vetor aponta ao longo do eixo x e o outro ao longo do eixo y. Isso facilita muito os cálculos porque cada vetor terá apenas uma componente não-nula. Essa escolha é sempre possível porque podemos orientar os eixos na direção dos vetores — o comprimento do resultado não depende de como rotacionamos o sistema, apenas das magnitudes e do ângulo entre eles.

Passo 3

Representar os vetores por componentes (pegando os comprimentos do enunciado):
  • Coloco o primeiro vetor ao longo do eixo x com módulo 5, então ele pode ser escrito como \vec{A} = (5,0).
  • Coloco o segundo vetor ao longo do eixo y com módulo 12, então ele pode ser escrito como \vec{B} = (0,12).
    Aqui cada par (x,y) representa as componentes do vetor nas direções x e y.

Passo 4

Somar os vetores componente a componente:
\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (5,0) + (0,12) = (5,12).
Expliquei: somar vetores em componentes significa somar as coordenadas correspondentes (a componente x com x, e y com y).

Passo 5

Fórmula do módulo (comprimento) de um vetor em componentes e significado das letras:
  • Se um vetor tem componentes (R_x,R_y), o módulo \|\vec{R}\| é dado por
\|\vec{R}\| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}.
Aqui R_x é a componente na direção x e R_y é a componente na direção y. Essa fórmula é nada mais do que o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao vetor resultado \vec{R}=(5,12):
\|\vec{R}\| = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.
Mostrei as contas passo a passo: 5^{2}=25, 12^{2}=144, somando dá 169, cuja raiz quadrada exata é 13.

Passo 7

Observação útil para a prova (truque de memorização): 5,12,13 é uma tripla pitagórica conhecida, então sempre que vir vetores perpendiculares com módulos 5 e 12 já pode lembrar instantaneamente que o resultante vale 13. De modo geral, para vetores perpendiculares de módulos a e b vale
\|\vec{R}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Força aí — tu já chega longe com esse raciocínio em poucas linhas na prova!

Resposta

13 unidades

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