- Qual o módulo do vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 5 e 12 unidades?
Passo 1
O enunciado pede o módulo do vetor soma de dois vetores que são perpendiculares entre si. As informações dadas são:
- Dois vetores são perpendiculares (formam ângulo reto entre si).
- Os módulos (comprimentos) desses vetores são
e unidades.
O que se pede: encontrar o módulo do vetor soma desses dois vetores (ou seja, o comprimento do vetor resultante quando os dois são adicionados).
Passo 2
Ideia prática e por que ela funciona (sem jargões): quando dois vetores são perpendiculares, dá para escolher um sistema de coordenadas em que um vetor aponta ao longo do eixo
e o outro ao longo do eixo
. Isso facilita muito os cálculos porque cada vetor terá apenas uma componente não-nula. Essa escolha é sempre possível porque podemos orientar os eixos na direção dos vetores — o comprimento do resultado não depende de como rotacionamos o sistema, apenas das magnitudes e do ângulo entre eles.
Passo 3
Representar os vetores por componentes (pegando os comprimentos do enunciado):
- Coloco o primeiro vetor ao longo do eixo
com módulo , então ele pode ser escrito como . - Coloco o segundo vetor ao longo do eixo
com módulo , então ele pode ser escrito como .
Aqui cada parrepresenta as componentes do vetor nas direções e .
Passo 4
Somar os vetores componente a componente:
Expliquei: somar vetores em componentes significa somar as coordenadas correspondentes (a componente
com
, e
com
).
Passo 5
Fórmula do módulo (comprimento) de um vetor em componentes e significado das letras:
- Se um vetor tem componentes
, o módulo é dado por
Aqui
é a componente na direção
e
é a componente na direção
. Essa fórmula é nada mais do que o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas componentes.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao vetor resultado
:
Mostrei as contas passo a passo:
,
, somando dá
, cuja raiz quadrada exata é
.
Passo 7
Observação útil para a prova (truque de memorização):
é uma tripla pitagórica conhecida, então sempre que vir vetores perpendiculares com módulos
e
já pode lembrar instantaneamente que o resultante vale
. De modo geral, para vetores perpendiculares de módulos
e
vale
Força aí — tu já chega longe com esse raciocínio em poucas linhas na prova!
Resposta
13 unidades