Dados os pontos A(-1,2,4) e B(-2,4,5) e os vetores \vec{u}=(4,3,1), \vec{v}=(1,1,2) e \vec{w}=(1,6,1), determine escalares a, b e c tais que \vec{w}=a \overrightarrow{A B}+b \vec{u}+c \vec{v}.
Resp.: a=2, b=1 e c=-1.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1,2,4) e B(-2,4,5) e os vetores \vec u=(4,3,1), \vec v=(1,1,2) e \vec w=(1,6,1). A tarefa é achar escalares a,b,c tais que
\vec w = a\,\overrightarrow{AB} \;+\; b\,\vec u \;+\; c\,\vec v.
Para isso vamos calcular \overrightarrow{AB}, montar um sistema linear pelas componentes e resolvê-lo.

Passo 2

Calculemos primeiro
\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-1),\;4 - 2,\;5 - 4) = (-1,\,2,\,1).
Logo a combinação fica
a(-1,2,1) \;+\; b(4,3,1) \;+\; c(1,1,2) \;=\;(1,6,1).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -\,a \;+\;4b \;+\;c = 1,\\\\ 2a \;+\;3b \;+\;c = 6,\\\ a \;+\;b \;+\;2c = 1. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação isolamos
c = 1 + a - 4b.
Substituindo na segunda:
2a + 3b + (1 + a - 4b) = 6 \;\Longrightarrow\; 3a - b = 5 \;\Longrightarrow\; b = 3a - 5.
Agora na terceira:
a + (3a - 5) + 2(1 + a - 4b) = 1 \;\Longrightarrow\; 6a - 8b = 4.
Como b=3a-5, temos
6a - 8(3a - 5) = 4 \;\Longrightarrow\; -18a + 40 = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2.
Logo
b = 3\cdot2 - 5 = 1, \quad c = 1 + 2 - 4\cdot1 = -1.

Resposta

a = 2, b = 1 e c = -1.

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