Dados os pontos A(1,5,-1), B(2,3,5) e C(0,2,5), determinar as coordenadas de um ponto D tal que A, B, C e D sejam vértices de um paralelogramo.
Resp.: D(1,0,11).

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A(1,5,-1),\quad B(2,3,5),\quad C(0,2,5),
e pede o ponto D tal que A,B,C,D sejam vértices de um paralelogramo. O conteúdo usado aqui é a representação vetorial de um paralelogramo: se de um mesmo vértice A partem dois lados em direção a B e a C, então o quarto vértice D atende
\overrightarrow{AD} \;=\;\overrightarrow{AB} \;+\;\overrightarrow{AC}.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;3-5,\;5-(-1)) = (1,-2,6).

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AC} subtraindo as coordenadas de A das de C:
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;2-5,\;5-(-1)) = (-1,-3,6).

Passo 4

Somar os vetores \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (1,-2,6) + (-1,-3,6) = (0,-5,12).

Passo 5

Encontrar D a partir de A mais esse vetor resultante:
D = A + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = (1,5,-1) + (0,-5,12) = (1,0,11).

Resposta

D(1,0,11)

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