Encontre os valores a e b tais que \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}, sendo \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(4,-2) e \vec{w}=(-2,16).
Resp.: a=6 ; b=-2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \vec{w}=(-2,16) como combinação linear de \vec{u}=(1,2) e \vec{v}=(4,-2), ou seja, encontrar escalares a e b tais que
\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}.
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear 2\times 2 que surge ao igualar coordenadas.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, temos
(-2,16) = \bigl(a\cdot1 + b\cdot4,\;a\cdot2 + b\cdot(-2)\bigr).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 4b = -2,\\\\ 2a - 2b = 16. \end{cases}

Passo 3

Para resolver, uso eliminação. Multiplico a primeira equação por 2:
2a + 8b = -4.
Subtraindo essa da segunda:
(2a - 2b) - (2a + 8b) = 16 - (-4) \quad\Longrightarrow\quad -10b = 20 \quad\Longrightarrow\quad b = -2.

Passo 4

Substituo b=-2 na primeira equação a + 4b = -2:
a + 4\cdot(-2) = -2 \quad\Longrightarrow\quad a - 8 = -2 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.

Resposta

a = 6 e b = -2.

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